Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3434 / 1173
↖ ↑ ↗
← N 77.869582°
W 29.091797°		 ← 1 026.84 m → N 77.869582°
W 29.047852°		 →
↑
1 027.20 m
↓
↑
1 027.20 m
↓
N 77.860345°
W 29.091797°		 ← 1 027.61 m →
1 055 158 m²		 N 77.860345°
W 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41925048828125 y=0.14324951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41925048828125 × 213)
    floor (0.41925048828125 × 8192)
    floor (3434.5)     		tx = 3434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14324951171875 × 213)
    floor (0.14324951171875 × 8192)
    floor (1173.5)     		ty = 1173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3434 / 1173 ti = "13/3434/1173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3434/1173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3434 ÷ 213
    3434 ÷ 8192     		x = 0.419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1173 ÷ 213
    1173 ÷ 8192     		y = 0.1431884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1431884765625 × 2 - 1) × π
    0.713623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24191292143079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50774764} λ = -0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24191292143079))-π/2
    2×atan(9.41131718949314)-π/2
    2×1.46493846536448-π/2
    2.92987693072896-1.57079632675     		φ = 1.35908060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35908060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.869582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3434 KachelY 1173 -0.50774764 1.35908060 -29.091797 77.869582
    Oben rechts KachelX + 1 3435 KachelY 1173 -0.50698065 1.35908060 -29.047852 77.869582
    Unten links KachelX 3434 KachelY + 1 1174 -0.50774764 1.35891937 -29.091797 77.860345
    Unten rechts KachelX + 1 3435 KachelY + 1 1174 -0.50698065 1.35891937 -29.047852 77.860345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35908060-1.35891937) × R
    0.000161230000000012 × 6371000     		dl = 1027.19633000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35908060-1.35891937) × R
    0.000161230000000012 × 6371000     		dr = 1027.19633000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50774764--0.50698065) × cos(1.35908060) × R
    0.000766989999999912 × 0.210137626045903 × 6371000     		do = 1026.83609964972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50774764--0.50698065) × cos(1.35891937) × R
    0.000766989999999912 × 0.210295253340699 × 6371000     		du = 1027.60634436806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35908060)-sin(1.35891937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210137626045903-0.210295253340699)×R²
    abs(-0.50698065--0.50774764)×0.000157627294796514×R²
    0.000766989999999912×0.000157627294796514×6371000²
    0.000766989999999912×0.000157627294796514×40589641000000     		ar = 1055157.87163075m²