Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34333 / 24168
↖ ↑ ↗
← N 42.650122°
E  8.596802°		 ← 449.24 m → N 42.650122°
E  8.602295°		 →
↑
449.28 m
↓
↑
449.28 m
↓
N 42.646081°
E  8.596802°		 ← 449.27 m →
201 841 m²		 N 42.646081°
E  8.602295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523887634277344 y=0.368782043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523887634277344 × 216)
    floor (0.523887634277344 × 65536)
    floor (34333.5)     		tx = 34333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368782043457031 × 216)
    floor (0.368782043457031 × 65536)
    floor (24168.5)     		ty = 24168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34333 / 24168 ti = "16/34333/24168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34333/24168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34333 ÷ 216
    34333 ÷ 65536     		x = 0.523880004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24168 ÷ 216
    24168 ÷ 65536     		y = 0.3687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523880004882812 × 2 - 1) × π
    0.047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15004250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3687744140625 × 2 - 1) × π
    0.262451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824514673464966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15004250} λ = 0.15004250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824514673464966))-π/2
    2×atan(2.28077357673984)-π/2
    2×1.15759068940147-π/2
    2.31518137880294-1.57079632675     		φ = 0.74438505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15004250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.596802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74438505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.650122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34333 KachelY 24168 0.15004250 0.74438505 8.596802 42.650122
    Oben rechts KachelX + 1 34334 KachelY 24168 0.15013837 0.74438505 8.602295 42.650122
    Unten links KachelX 34333 KachelY + 1 24169 0.15004250 0.74431453 8.596802 42.646081
    Unten rechts KachelX + 1 34334 KachelY + 1 24169 0.15013837 0.74431453 8.602295 42.646081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74438505-0.74431453) × R
    7.05199999999628e-05 × 6371000     		dl = 449.282919999763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74438505-0.74431453) × R
    7.05199999999628e-05 × 6371000     		dr = 449.282919999763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15004250-0.15013837) × cos(0.74438505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7355046821282 × 6371000     		do = 449.237264621632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15004250-0.15013837) × cos(0.74431453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735552458984314 × 6371000     		du = 449.266446141036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74438505)-sin(0.74431453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7355046821282-0.735552458984314)×R²
    abs(0.15013837-0.15004250)×4.77768561140124e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77768561140124e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77768561140124e-05×40589641000000     		ar = 201841.185484533m²