Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34332 / 24170
↖ ↑ ↗
← N 42.642041°
E  8.591308°		 ← 449.34 m → N 42.642041°
E  8.596802°		 →
↑
449.35 m
↓
↑
449.35 m
↓
N 42.638000°
E  8.591308°		 ← 449.37 m →
201 917 m²		 N 42.638000°
E  8.596802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523872375488281 y=0.368812561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523872375488281 × 216)
    floor (0.523872375488281 × 65536)
    floor (34332.5)     		tx = 34332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368812561035156 × 216)
    floor (0.368812561035156 × 65536)
    floor (24170.5)     		ty = 24170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34332 / 24170 ti = "16/34332/24170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34332/24170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34332 ÷ 216
    34332 ÷ 65536     		x = 0.52386474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24170 ÷ 216
    24170 ÷ 65536     		y = 0.368804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52386474609375 × 2 - 1) × π
    0.0477294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14994662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368804931640625 × 2 - 1) × π
    0.26239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.824322925866486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14994662} λ = 0.14994662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824322925866486))-π/2
    2×atan(2.2803362858099)-π/2
    2×1.15752016919296-π/2
    2.31504033838592-1.57079632675     		φ = 0.74424401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14994662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.591308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74424401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.642041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34332 KachelY 24170 0.14994662 0.74424401 8.591308 42.642041
    Oben rechts KachelX + 1 34333 KachelY 24170 0.15004250 0.74424401 8.596802 42.642041
    Unten links KachelX 34332 KachelY + 1 24171 0.14994662 0.74417348 8.591308 42.638000
    Unten rechts KachelX + 1 34333 KachelY + 1 24171 0.15004250 0.74417348 8.596802 42.638000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74424401-0.74417348) × R
    7.05299999999021e-05 × 6371000     		dl = 449.346629999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74424401-0.74417348) × R
    7.05299999999021e-05 × 6371000     		dr = 449.346629999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14994662-0.15004250) × cos(0.74424401) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735600232182474 × 6371000     		do = 449.342490516973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14994662-0.15004250) × cos(0.74417348) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735648008496082 × 6371000     		du = 449.37167474885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74424401)-sin(0.74417348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735600232182474-0.735648008496082)×R²
    abs(0.15004250-0.14994662)×4.77763136081943e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77763136081943e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77763136081943e-05×40589641000000     		ar = 201917.090831396m²