Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34331 / 32318
↖ ↑ ↗
← N  2.471157°
E  8.585816°		 ← 610.22 m → N  2.471157°
E  8.591308°		 →
↑
610.21 m
↓
↑
610.21 m
↓
N  2.465669°
E  8.585816°		 ← 610.22 m →
372 366 m²		 N  2.465669°
E  8.591308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523857116699219 y=0.493141174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523857116699219 × 216)
    floor (0.523857116699219 × 65536)
    floor (34331.5)     		tx = 34331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493141174316406 × 216)
    floor (0.493141174316406 × 65536)
    floor (32318.5)     		ty = 32318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34331 / 32318 ti = "16/34331/32318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34331/32318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34331 ÷ 216
    34331 ÷ 65536     		x = 0.523849487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32318 ÷ 216
    32318 ÷ 65536     		y = 0.493133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523849487304688 × 2 - 1) × π
    0.047698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14985075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493133544921875 × 2 - 1) × π
    0.01373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0431432096580505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14985075} λ = 0.14985075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0431432096580505))-π/2
    2×atan(1.04408740754514)-π/2
    2×0.806963079336094-π/2
    1.61392615867219-1.57079632675     		φ = 0.04312983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14985075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.585816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04312983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.471157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34331 KachelY 32318 0.14985075 0.04312983 8.585816 2.471157
    Oben rechts KachelX + 1 34332 KachelY 32318 0.14994662 0.04312983 8.591308 2.471157
    Unten links KachelX 34331 KachelY + 1 32319 0.14985075 0.04303405 8.585816 2.465669
    Unten rechts KachelX + 1 34332 KachelY + 1 32319 0.14994662 0.04303405 8.591308 2.465669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04312983-0.04303405) × R
    9.57800000000036e-05 × 6371000     		dl = 610.214380000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04312983-0.04303405) × R
    9.57800000000036e-05 × 6371000     		dr = 610.214380000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14985075-0.14994662) × cos(0.04312983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999070053051394 × 6371000     		do = 610.219769777029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14985075-0.14994662) × cos(0.04303405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999074178163258 × 6371000     		du = 610.222289344906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04312983)-sin(0.04303405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999070053051394-0.999074178163258)×R²
    abs(0.14994662-0.14985075)×4.12511186387299e-06×R²
    9.58699999999979e-05×4.12511186387299e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12511186387299e-06×40589641000000     		ar = 372365.647501193m²