Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34331 / 24172
↖ ↑ ↗
← N 42.633959°
E  8.585816°		 ← 449.35 m → N 42.633959°
E  8.591308°		 →
↑
449.35 m
↓
↑
449.35 m
↓
N 42.629917°
E  8.585816°		 ← 449.38 m →
201 922 m²		 N 42.629917°
E  8.591308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523857116699219 y=0.368843078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523857116699219 × 216)
    floor (0.523857116699219 × 65536)
    floor (34331.5)     		tx = 34331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368843078613281 × 216)
    floor (0.368843078613281 × 65536)
    floor (24172.5)     		ty = 24172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34331 / 24172 ti = "16/34331/24172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34331/24172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34331 ÷ 216
    34331 ÷ 65536     		x = 0.523849487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24172 ÷ 216
    24172 ÷ 65536     		y = 0.36883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523849487304688 × 2 - 1) × π
    0.047698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14985075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36883544921875 × 2 - 1) × π
    0.2623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.824131178268005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14985075} λ = 0.14985075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824131178268005))-π/2
    2×atan(2.27989907872142)-π/2
    2×1.15744963982378-π/2
    2.31489927964757-1.57079632675     		φ = 0.74410295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14985075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.585816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74410295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.633959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34331 KachelY 24172 0.14985075 0.74410295 8.585816 42.633959
    Oben rechts KachelX + 1 34332 KachelY 24172 0.14994662 0.74410295 8.591308 42.633959
    Unten links KachelX 34331 KachelY + 1 24173 0.14985075 0.74403242 8.585816 42.629917
    Unten rechts KachelX + 1 34332 KachelY + 1 24173 0.14994662 0.74403242 8.591308 42.629917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74410295-0.74403242) × R
    7.05300000000131e-05 × 6371000     		dl = 449.346630000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74410295-0.74403242) × R
    7.05300000000131e-05 × 6371000     		dr = 449.346630000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14985075-0.14994662) × cos(0.74410295) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735695781150223 × 6371000     		do = 449.353985567143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14985075-0.14994662) × cos(0.74403242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.73574355014466 × 6371000     		du = 449.38316228473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74410295)-sin(0.74403242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735695781150223-0.73574355014466)×R²
    abs(0.14994662-0.14985075)×4.77689944367032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77689944367032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77689944367032e-05×40589641000000     		ar = 201922.254405322m²