Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34330 / 24173
↖ ↑ ↗
← N 42.629917°
E  8.580322°		 ← 449.43 m → N 42.629917°
E  8.585816°		 →
↑
449.41 m
↓
↑
449.41 m
↓
N 42.625876°
E  8.580322°		 ← 449.46 m →
201 985 m²		 N 42.625876°
E  8.585816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523841857910156 y=0.368858337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523841857910156 × 216)
    floor (0.523841857910156 × 65536)
    floor (34330.5)     		tx = 34330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368858337402344 × 216)
    floor (0.368858337402344 × 65536)
    floor (24173.5)     		ty = 24173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34330 / 24173 ti = "16/34330/24173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34330/24173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34330 ÷ 216
    34330 ÷ 65536     		x = 0.523834228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24173 ÷ 216
    24173 ÷ 65536     		y = 0.368850708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523834228515625 × 2 - 1) × π
    0.04766845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14975487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368850708007812 × 2 - 1) × π
    0.262298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.824035304468765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14975487} λ = 0.14975487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.824035304468765))-π/2
    2×atan(2.27968050661269)-π/2
    2×1.15741437170401-π/2
    2.31482874340803-1.57079632675     		φ = 0.74403242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14975487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.580322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74403242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.629917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34330 KachelY 24173 0.14975487 0.74403242 8.580322 42.629917
    Oben rechts KachelX + 1 34331 KachelY 24173 0.14985075 0.74403242 8.585816 42.629917
    Unten links KachelX 34330 KachelY + 1 24174 0.14975487 0.74396188 8.580322 42.625876
    Unten rechts KachelX + 1 34331 KachelY + 1 24174 0.14985075 0.74396188 8.585816 42.625876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74403242-0.74396188) × R
    7.05400000000633e-05 × 6371000     		dl = 449.410340000403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74403242-0.74396188) × R
    7.05400000000633e-05 × 6371000     		dr = 449.410340000403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14975487-0.14985075) × cos(0.74403242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.73574355014466 × 6371000     		do = 449.430036506285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14975487-0.14985075) × cos(0.74396188) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.735791322251238 × 6371000     		du = 449.459218168291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74403242)-sin(0.74396188))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73574355014466-0.735791322251238)×R²
    abs(0.14985075-0.14975487)×4.77721065779146e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77721065779146e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77721065779146e-05×40589641000000     		ar = 201985.062866839m²