Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 3433 / 3899
↖ ↑ ↗
← N 79.570495°
W142.283936°		 ← 221.15 m → N 79.570495°
W142.272949°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
N 79.568506°
W142.283936°		 ← 221.19 m →
48 923 m²		 N 79.568506°
W142.272949°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104782104492188 y=0.119003295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104782104492188 × 215)
    floor (0.104782104492188 × 32768)
    floor (3433.5)     		tx = 3433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119003295898438 × 215)
    floor (0.119003295898438 × 32768)
    floor (3899.5)     		ty = 3899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3433 / 3899 ti = "15/3433/3899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3433/3899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3433 ÷ 215
    3433 ÷ 32768     		x = 0.104766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3899 ÷ 215
    3899 ÷ 32768     		y = 0.118988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104766845703125 × 2 - 1) × π
    -0.79046630859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.48332315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118988037109375 × 2 - 1) × π
    0.76202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3939687670256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48332315} λ = -2.48332315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3939687670256))-π/2
    2×atan(10.9568931215862)-π/2
    2×1.47978172587926-π/2
    2.95956345175852-1.57079632675     		φ = 1.38876713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48332315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.283936°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38876713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.570495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3433 KachelY 3899 -2.48332315 1.38876713 -142.283936 79.570495
    Oben rechts KachelX + 1 3434 KachelY 3899 -2.48313140 1.38876713 -142.272949 79.570495
    Unten links KachelX 3433 KachelY + 1 3900 -2.48332315 1.38873241 -142.283936 79.568506
    Unten rechts KachelX + 1 3434 KachelY + 1 3900 -2.48313140 1.38873241 -142.272949 79.568506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38876713-1.38873241) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dl = 221.20111999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38876713-1.38873241) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dr = 221.20111999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48332315--2.48313140) × cos(1.38876713) × R
    0.000191749999999935 × 0.181025615934318 × 6371000     		do = 221.147997680713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48332315--2.48313140) × cos(1.38873241) × R
    0.000191749999999935 × 0.181059762194597 × 6371000     		du = 221.18971209251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38876713)-sin(1.38873241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181025615934318-0.181059762194597)×R²
    abs(-2.48313140--2.48332315)×3.41462602786724e-05×R²
    0.000191749999999935×3.41462602786724e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.41462602786724e-05×40589641000000     		ar = 48922.7984153122m²