Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34329 / 36375
↖ ↑ ↗
← S 19.430334°
E  8.574829°		 ← 576 m → S 19.430334°
E  8.580322°		 →
↑
576.07 m
↓
↑
576.07 m
↓
S 19.435515°
E  8.574829°		 ← 575.98 m →
331 809 m²		 S 19.435515°
E  8.580322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523826599121094 y=0.555046081542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523826599121094 × 216)
    floor (0.523826599121094 × 65536)
    floor (34329.5)     		tx = 34329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555046081542969 × 216)
    floor (0.555046081542969 × 65536)
    floor (36375.5)     		ty = 36375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34329 / 36375 ti = "16/34329/36375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34329/36375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34329 ÷ 216
    34329 ÷ 65536     		x = 0.523818969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36375 ÷ 216
    36375 ÷ 65536     		y = 0.555038452148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523818969726562 × 2 - 1) × π
    0.047637939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14965900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555038452148438 × 2 - 1) × π
    -0.110076904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345816793859085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14965900} λ = 0.14965900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345816793859085))-π/2
    2×atan(0.707642119613287)-π/2
    2×0.615836510896785-π/2
    1.23167302179357-1.57079632675     		φ = -0.33912330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14965900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.574829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33912330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.430334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34329 KachelY 36375 0.14965900 -0.33912330 8.574829 -19.430334
    Oben rechts KachelX + 1 34330 KachelY 36375 0.14975487 -0.33912330 8.580322 -19.430334
    Unten links KachelX 34329 KachelY + 1 36376 0.14965900 -0.33921372 8.574829 -19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 34330 KachelY + 1 36376 0.14975487 -0.33921372 8.580322 -19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33912330--0.33921372) × R
    9.041999999998e-05 × 6371000     		dl = 576.065819999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33912330--0.33921372) × R
    9.041999999998e-05 × 6371000     		dr = 576.065819999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14965900-0.14975487) × cos(-0.33912330) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.943046671322617 × 6371000     		do = 576.001373383218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14965900-0.14975487) × cos(-0.33921372) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 575.982999046784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33912330)-sin(-0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943046671322617-0.943016588309602)×R²
    abs(0.14975487-0.14965900)×3.00830130143259e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.00830130143259e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.00830130143259e-05×40589641000000     		ar = 331809.411291662m²