Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34328 / 36376
↖ ↑ ↗
← S 19.435515°
E  8.569336°		 ← 575.98 m → S 19.435515°
E  8.574829°		 →
↑
576 m
↓
↑
576 m
↓
S 19.440695°
E  8.569336°		 ← 575.96 m →
331 762 m²		 S 19.440695°
E  8.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523811340332031 y=0.555061340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523811340332031 × 216)
    floor (0.523811340332031 × 65536)
    floor (34328.5)     		tx = 34328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555061340332031 × 216)
    floor (0.555061340332031 × 65536)
    floor (36376.5)     		ty = 36376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34328 / 36376 ti = "16/34328/36376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34328/36376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34328 ÷ 216
    34328 ÷ 65536     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36376 ÷ 216
    36376 ÷ 65536     		y = 0.5550537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5550537109375 × 2 - 1) × π
    -0.110107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345912667658325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345912667658325))-π/2
    2×atan(0.70757427852692)-π/2
    2×0.615791304884197-π/2
    1.23158260976839-1.57079632675     		φ = -0.33921372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33921372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.435515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34328 KachelY 36376 0.14956313 -0.33921372 8.569336 -19.435515
    Oben rechts KachelX + 1 34329 KachelY 36376 0.14965900 -0.33921372 8.574829 -19.435515
    Unten links KachelX 34328 KachelY + 1 36377 0.14956313 -0.33930413 8.569336 -19.440695
    Unten rechts KachelX + 1 34329 KachelY + 1 36377 0.14965900 -0.33930413 8.574829 -19.440695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33921372--0.33930413) × R
    9.04099999999852e-05 × 6371000     		dl = 576.002109999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33921372--0.33930413) × R
    9.04099999999852e-05 × 6371000     		dr = 576.002109999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.14965900) × cos(-0.33921372) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943016588309602 × 6371000     		do = 575.982999046617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.14965900) × cos(-0.33930413) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.942986500915005 × 6371000     		du = 575.964622033966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33921372)-sin(-0.33930413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943016588309602-0.942986500915005)×R²
    abs(0.14965900-0.14956313)×3.00873945972002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00873945972002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00873945972002e-05×40589641000000     		ar = 331762.13040182m²