Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34328 / 21927
↖ ↑ ↗
← N 51.044848°
E  8.569336°		 ← 384.01 m → N 51.044848°
E  8.574829°		 →
↑
384.04 m
↓
↑
384.04 m
↓
N 51.041394°
E  8.569336°		 ← 384.04 m →
147 482 m²		 N 51.041394°
E  8.574829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523811340332031 y=0.334587097167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523811340332031 × 216)
    floor (0.523811340332031 × 65536)
    floor (34328.5)     		tx = 34328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334587097167969 × 216)
    floor (0.334587097167969 × 65536)
    floor (21927.5)     		ty = 21927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34328 / 21927 ti = "16/34328/21927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34328/21927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34328 ÷ 216
    34328 ÷ 65536     		x = 0.5238037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21927 ÷ 216
    21927 ÷ 65536     		y = 0.334579467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5238037109375 × 2 - 1) × π
    0.047607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14956313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334579467773438 × 2 - 1) × π
    0.330841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03936785756206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14956313} λ = 0.14956313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03936785756206))-π/2
    2×atan(2.82742911137485)-π/2
    2×1.23084849217547-π/2
    2.46169698435095-1.57079632675     		φ = 0.89090066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14956313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.569336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89090066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.044848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34328 KachelY 21927 0.14956313 0.89090066 8.569336 51.044848
    Oben rechts KachelX + 1 34329 KachelY 21927 0.14965900 0.89090066 8.574829 51.044848
    Unten links KachelX 34328 KachelY + 1 21928 0.14956313 0.89084038 8.569336 51.041394
    Unten rechts KachelX + 1 34329 KachelY + 1 21928 0.14965900 0.89084038 8.574829 51.041394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89090066-0.89084038) × R
    6.02800000000236e-05 × 6371000     		dl = 384.043880000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89090066-0.89084038) × R
    6.02800000000236e-05 × 6371000     		dr = 384.043880000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14956313-0.14965900) × cos(0.89090066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62871189394233 × 6371000     		do = 384.009535673504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14956313-0.14965900) × cos(0.89084038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628758768837873 × 6371000     		du = 384.038166286422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89090066)-sin(0.89084038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62871189394233-0.628758768837873)×R²
    abs(0.14965900-0.14956313)×4.68748955430032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68748955430032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68748955430032e-05×40589641000000     		ar = 147482.009787858m²