Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34322 / 24154
↖ ↑ ↗
← N 42.706659°
E  8.536377°		 ← 448.88 m → N 42.706659°
E  8.541870°		 →
↑
448.84 m
↓
↑
448.84 m
↓
N 42.702623°
E  8.536377°		 ← 448.90 m →
201 478 m²		 N 42.702623°
E  8.541870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523719787597656 y=0.368568420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523719787597656 × 216)
    floor (0.523719787597656 × 65536)
    floor (34322.5)     		tx = 34322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368568420410156 × 216)
    floor (0.368568420410156 × 65536)
    floor (24154.5)     		ty = 24154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34322 / 24154 ti = "16/34322/24154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34322/24154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34322 ÷ 216
    34322 ÷ 65536     		x = 0.523712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24154 ÷ 216
    24154 ÷ 65536     		y = 0.368560791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368560791015625 × 2 - 1) × π
    0.26287841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.825856906654327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14898788} λ = 0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825856906654327))-π/2
    2×atan(2.28383696216084)-π/2
    2×1.15808407434457-π/2
    2.31616814868913-1.57079632675     		φ = 0.74537182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74537182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.706659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34322 KachelY 24154 0.14898788 0.74537182 8.536377 42.706659
    Oben rechts KachelX + 1 34323 KachelY 24154 0.14908376 0.74537182 8.541870 42.706659
    Unten links KachelX 34322 KachelY + 1 24155 0.14898788 0.74530137 8.536377 42.702623
    Unten rechts KachelX + 1 34323 KachelY + 1 24155 0.14908376 0.74530137 8.541870 42.702623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74537182-0.74530137) × R
    7.04500000000552e-05 × 6371000     		dl = 448.836950000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74537182-0.74530137) × R
    7.04500000000552e-05 × 6371000     		dr = 448.836950000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14898788-0.14908376) × cos(0.74537182) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.734835768095594 × 6371000     		do = 448.875516498226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14898788-0.14908376) × cos(0.74530137) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.734883548638151 × 6371000     		du = 448.904703313362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74537182)-sin(0.74530137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734835768095594-0.734883548638151)×R²
    abs(0.14908376-0.14898788)×4.7780542556719e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.7780542556719e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.7780542556719e-05×40589641000000     		ar = 201478.467898704m²