Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34322 / 21681
↖ ↑ ↗
← N 51.886664°
E  8.536377°		 ← 377.03 m → N 51.886664°
E  8.541870°		 →
↑
377.04 m
↓
↑
377.04 m
↓
N 51.883273°
E  8.536377°		 ← 377.06 m →
142 159 m²		 N 51.883273°
E  8.541870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523719787597656 y=0.330833435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523719787597656 × 216)
    floor (0.523719787597656 × 65536)
    floor (34322.5)     		tx = 34322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330833435058594 × 216)
    floor (0.330833435058594 × 65536)
    floor (21681.5)     		ty = 21681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34322 / 21681 ti = "16/34322/21681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34322/21681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34322 ÷ 216
    34322 ÷ 65536     		x = 0.523712158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21681 ÷ 216
    21681 ÷ 65536     		y = 0.330825805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523712158203125 × 2 - 1) × π
    0.04742431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14898788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330825805664062 × 2 - 1) × π
    0.338348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06295281217513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14898788} λ = 0.14898788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06295281217513))-π/2
    2×atan(2.89490649633977)-π/2
    2×1.23819472204085-π/2
    2.4763894440817-1.57079632675     		φ = 0.90559312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14898788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.536377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90559312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.886664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34322 KachelY 21681 0.14898788 0.90559312 8.536377 51.886664
    Oben rechts KachelX + 1 34323 KachelY 21681 0.14908376 0.90559312 8.541870 51.886664
    Unten links KachelX 34322 KachelY + 1 21682 0.14898788 0.90553394 8.536377 51.883273
    Unten rechts KachelX + 1 34323 KachelY + 1 21682 0.14908376 0.90553394 8.541870 51.883273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90559312-0.90553394) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dl = 377.035780000303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90559312-0.90553394) × R
    5.91800000000475e-05 × 6371000     		dr = 377.035780000303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14898788-0.14908376) × cos(0.90559312) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.617219026824631 × 6371000     		do = 377.029156020065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14898788-0.14908376) × cos(0.90553394) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.617265588057535 × 6371000     		du = 377.057598018096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90559312)-sin(0.90553394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617219026824631-0.617265588057535)×R²
    abs(0.14908376-0.14898788)×4.6561232904474e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.6561232904474e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.6561232904474e-05×40589641000000     		ar = 142158.843789969m²