Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34321 / 24152
↖ ↑ ↗
← N 42.714732°
E  8.530884°		 ← 448.77 m → N 42.714732°
E  8.536377°		 →
↑
448.84 m
↓
↑
448.84 m
↓
N 42.710696°
E  8.530884°		 ← 448.80 m →
201 431 m²		 N 42.710696°
E  8.536377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523704528808594 y=0.368537902832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523704528808594 × 216)
    floor (0.523704528808594 × 65536)
    floor (34321.5)     		tx = 34321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368537902832031 × 216)
    floor (0.368537902832031 × 65536)
    floor (24152.5)     		ty = 24152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34321 / 24152 ti = "16/34321/24152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34321/24152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34321 ÷ 216
    34321 ÷ 65536     		x = 0.523696899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24152 ÷ 216
    24152 ÷ 65536     		y = 0.3685302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523696899414062 × 2 - 1) × π
    0.047393798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14889201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3685302734375 × 2 - 1) × π
    0.262939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.826048654252808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14889201} λ = 0.14889201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826048654252808))-π/2
    2×atan(2.28427492440141)-π/2
    2×1.15815452126014-π/2
    2.31630904252028-1.57079632675     		φ = 0.74551272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14889201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.530884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74551272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.714732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34321 KachelY 24152 0.14889201 0.74551272 8.530884 42.714732
    Oben rechts KachelX + 1 34322 KachelY 24152 0.14898788 0.74551272 8.536377 42.714732
    Unten links KachelX 34321 KachelY + 1 24153 0.14889201 0.74544227 8.530884 42.710696
    Unten rechts KachelX + 1 34322 KachelY + 1 24153 0.14898788 0.74544227 8.536377 42.710696
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74551272-0.74544227) × R
    7.04500000000552e-05 × 6371000     		dl = 448.836950000352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74551272-0.74544227) × R
    7.04500000000552e-05 × 6371000     		dr = 448.836950000352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14889201-0.14898788) × cos(0.74551272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734740196069302 × 6371000     		do = 448.770325886522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14889201-0.14898788) × cos(0.74544227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.734787983905899 × 6371000     		du = 448.79951411267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74551272)-sin(0.74544227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734740196069302-0.734787983905899)×R²
    abs(0.14898788-0.14889201)×4.77878365970907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77878365970907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77878365970907e-05×40589641000000     		ar = 201431.254782011m²