Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34320 / 36367
↖ ↑ ↗
← S 19.388886°
E  8.525391°		 ← 576.15 m → S 19.388886°
E  8.530884°		 →
↑
576.19 m
↓
↑
576.19 m
↓
S 19.394068°
E  8.525391°		 ← 576.13 m →
331 967 m²		 S 19.394068°
E  8.530884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523689270019531 y=0.554924011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523689270019531 × 216)
    floor (0.523689270019531 × 65536)
    floor (34320.5)     		tx = 34320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554924011230469 × 216)
    floor (0.554924011230469 × 65536)
    floor (36367.5)     		ty = 36367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34320 / 36367 ti = "16/34320/36367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34320/36367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34320 ÷ 216
    34320 ÷ 65536     		x = 0.523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36367 ÷ 216
    36367 ÷ 65536     		y = 0.554916381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523681640625 × 2 - 1) × π
    0.04736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14879614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554916381835938 × 2 - 1) × π
    -0.109832763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345049803465164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14879614} λ = 0.14879614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345049803465164))-π/2
    2×atan(0.708185082518413)-π/2
    2×0.616198210875005-π/2
    1.23239642175001-1.57079632675     		φ = -0.33839990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14879614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.525391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33839990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.388886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34320 KachelY 36367 0.14879614 -0.33839990 8.525391 -19.388886
    Oben rechts KachelX + 1 34321 KachelY 36367 0.14889201 -0.33839990 8.530884 -19.388886
    Unten links KachelX 34320 KachelY + 1 36368 0.14879614 -0.33849034 8.525391 -19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 34321 KachelY + 1 36368 0.14889201 -0.33849034 8.530884 -19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33839990--0.33849034) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dl = 576.193240000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33839990--0.33849034) × R
    9.04400000000249e-05 × 6371000     		dr = 576.193240000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14879614-0.14889201) × cos(-0.33839990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943287071120218 × 6371000     		do = 576.148206639337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14879614-0.14889201) × cos(-0.33849034) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 576.129865926851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33839990)-sin(-0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943287071120218-0.943257043157337)×R²
    abs(0.14889201-0.14879614)×3.00279628808742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00279628808742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00279628808742e-05×40589641000000     		ar = 331967.418232861m²