Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3432 / 1172
↖ ↑ ↗
← N 77.878814°
W 29.179687°		 ← 1 026.07 m → N 77.878814°
W 29.135742°		 →
↑
1 026.50 m
↓
↑
1 026.50 m
↓
N 77.869582°
W 29.179687°		 ← 1 026.84 m →
1 053 648 m²		 N 77.869582°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41900634765625 y=0.14312744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41900634765625 × 213)
    floor (0.41900634765625 × 8192)
    floor (3432.5)     		tx = 3432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14312744140625 × 213)
    floor (0.14312744140625 × 8192)
    floor (1172.5)     		ty = 1172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3432 / 1172 ti = "13/3432/1172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3432/1172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3432 ÷ 213
    3432 ÷ 8192     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1172 ÷ 213
    1172 ÷ 8192     		y = 0.14306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14306640625 × 2 - 1) × π
    0.7138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24267991182471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24267991182471))-π/2
    2×atan(9.41853834829735)-π/2
    2×1.4650190219259-π/2
    2.93003804385181-1.57079632675     		φ = 1.35924172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35924172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.878814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3432 KachelY 1172 -0.50928162 1.35924172 -29.179687 77.878814
    Oben rechts KachelX + 1 3433 KachelY 1172 -0.50851463 1.35924172 -29.135742 77.878814
    Unten links KachelX 3432 KachelY + 1 1173 -0.50928162 1.35908060 -29.179687 77.869582
    Unten rechts KachelX + 1 3433 KachelY + 1 1173 -0.50851463 1.35908060 -29.135742 77.869582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35924172-1.35908060) × R
    0.000161120000000015 × 6371000     		dl = 1026.49552000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35924172-1.35908060) × R
    0.000161120000000015 × 6371000     		dr = 1026.49552000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50851463) × cos(1.35924172) × R
    0.000766990000000023 × 0.209980100836179 × 6371000     		do = 1026.06635376954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50851463) × cos(1.35908060) × R
    0.000766990000000023 × 0.210137626045903 × 6371000     		du = 1026.83609964986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35924172)-sin(1.35908060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209980100836179-0.210137626045903)×R²
    abs(-0.50851463--0.50928162)×0.000157525209723952×R²
    0.000766990000000023×0.000157525209723952×6371000²
    0.000766990000000023×0.000157525209723952×40589641000000     		ar = 1053647.58799412m²