Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34318 / 24158
↖ ↑ ↗
← N 42.690511°
E  8.514404°		 ← 448.95 m → N 42.690511°
E  8.519897°		 →
↑
448.96 m
↓
↑
448.96 m
↓
N 42.686474°
E  8.514404°		 ← 448.97 m →
201 567 m²		 N 42.686474°
E  8.519897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523658752441406 y=0.368629455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523658752441406 × 216)
    floor (0.523658752441406 × 65536)
    floor (34318.5)     		tx = 34318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368629455566406 × 216)
    floor (0.368629455566406 × 65536)
    floor (24158.5)     		ty = 24158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34318 / 24158 ti = "16/34318/24158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34318/24158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34318 ÷ 216
    34318 ÷ 65536     		x = 0.523651123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24158 ÷ 216
    24158 ÷ 65536     		y = 0.368621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523651123046875 × 2 - 1) × π
    0.04730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14860439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368621826171875 × 2 - 1) × π
    0.26275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.825473411457367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14860439} λ = 0.14860439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.825473411457367))-π/2
    2×atan(2.28296128957405)-π/2
    2×1.15794315302658-π/2
    2.31588630605316-1.57079632675     		φ = 0.74508998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14860439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.514404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74508998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.690511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34318 KachelY 24158 0.14860439 0.74508998 8.514404 42.690511
    Oben rechts KachelX + 1 34319 KachelY 24158 0.14870026 0.74508998 8.519897 42.690511
    Unten links KachelX 34318 KachelY + 1 24159 0.14860439 0.74501951 8.514404 42.686474
    Unten rechts KachelX + 1 34319 KachelY + 1 24159 0.14870026 0.74501951 8.519897 42.686474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74508998-0.74501951) × R
    7.04700000000447e-05 × 6371000     		dl = 448.964370000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74508998-0.74501951) × R
    7.04700000000447e-05 × 6371000     		dr = 448.964370000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14860439-0.14870026) × cos(0.74508998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735026895502136 × 6371000     		do = 448.945438393763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14860439-0.14870026) × cos(0.74501951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.735074675011418 × 6371000     		du = 448.974621533689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74508998)-sin(0.74501951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735026895502136-0.735074675011418)×R²
    abs(0.14870026-0.14860439)×4.77795092823641e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77795092823641e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77795092823641e-05×40589641000000     		ar = 201567.057091079m²