Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34316 / 32259
↖ ↑ ↗
← N  2.794912°
E  8.503418°		 ← 610.12 m → N  2.794912°
E  8.508911°		 →
↑
610.09 m
↓
↑
610.09 m
↓
N  2.789425°
E  8.503418°		 ← 610.13 m →
372 230 m²		 N  2.789425°
E  8.508911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523628234863281 y=0.492240905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523628234863281 × 216)
    floor (0.523628234863281 × 65536)
    floor (34316.5)     		tx = 34316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492240905761719 × 216)
    floor (0.492240905761719 × 65536)
    floor (32259.5)     		ty = 32259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34316 / 32259 ti = "16/34316/32259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34316/32259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34316 ÷ 216
    34316 ÷ 65536     		x = 0.52362060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32259 ÷ 216
    32259 ÷ 65536     		y = 0.492233276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52362060546875 × 2 - 1) × π
    0.0472412109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14841264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492233276367188 × 2 - 1) × π
    0.015533447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0487997638132172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14841264} λ = 0.14841264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0487997638132172))-π/2
    2×atan(1.05001007967436)-π/2
    2×0.809788366683658-π/2
    1.61957673336732-1.57079632675     		φ = 0.04878041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14841264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.503418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04878041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.794912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34316 KachelY 32259 0.14841264 0.04878041 8.503418 2.794912
    Oben rechts KachelX + 1 34317 KachelY 32259 0.14850852 0.04878041 8.508911 2.794912
    Unten links KachelX 34316 KachelY + 1 32260 0.14841264 0.04868465 8.503418 2.789425
    Unten rechts KachelX + 1 34317 KachelY + 1 32260 0.14850852 0.04868465 8.508911 2.789425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04878041-0.04868465) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dl = 610.086960000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04878041-0.04868465) × R
    9.57600000000003e-05 × 6371000     		dr = 610.086960000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14841264-0.14850852) × cos(0.04878041) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998810471704546 × 6371000     		do = 610.124854880173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14841264-0.14850852) × cos(0.04868465) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.998815136484739 × 6371000     		du = 610.127704368058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04878041)-sin(0.04868465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998810471704546-0.998815136484739)×R²
    abs(0.14850852-0.14841264)×4.66478019311989e-06×R²
    9.58799999999926e-05×4.66478019311989e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66478019311989e-06×40589641000000     		ar = 372230.087436422m²