Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34314 / 21622
↖ ↑ ↗
← N 52.086258°
E  8.492431°		 ← 375.35 m → N 52.086258°
E  8.497925°		 →
↑
375.38 m
↓
↑
375.38 m
↓
N 52.082882°
E  8.492431°		 ← 375.38 m →
140 905 m²		 N 52.082882°
E  8.497925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523597717285156 y=0.329933166503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523597717285156 × 216)
    floor (0.523597717285156 × 65536)
    floor (34314.5)     		tx = 34314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329933166503906 × 216)
    floor (0.329933166503906 × 65536)
    floor (21622.5)     		ty = 21622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34314 / 21622 ti = "16/34314/21622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34314/21622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34314 ÷ 216
    34314 ÷ 65536     		x = 0.523590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21622 ÷ 216
    21622 ÷ 65536     		y = 0.329925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523590087890625 × 2 - 1) × π
    0.04718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14822089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329925537109375 × 2 - 1) × π
    0.34014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06860936633029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14822089} λ = 0.14822089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06860936633029))-π/2
    2×atan(2.91132809274891)-π/2
    2×1.23993650613324-π/2
    2.47987301226647-1.57079632675     		φ = 0.90907669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14822089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.492431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90907669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.086258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34314 KachelY 21622 0.14822089 0.90907669 8.492431 52.086258
    Oben rechts KachelX + 1 34315 KachelY 21622 0.14831677 0.90907669 8.497925 52.086258
    Unten links KachelX 34314 KachelY + 1 21623 0.14822089 0.90901777 8.492431 52.082882
    Unten rechts KachelX + 1 34315 KachelY + 1 21623 0.14831677 0.90901777 8.497925 52.082882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90907669-0.90901777) × R
    5.89200000000734e-05 × 6371000     		dl = 375.379320000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90907669-0.90901777) × R
    5.89200000000734e-05 × 6371000     		dr = 375.379320000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14822089-0.14831677) × cos(0.90907669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614474444473609 × 6371000     		do = 375.352623828853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14822089-0.14831677) × cos(0.90901777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614520927558863 × 6371000     		du = 375.381018090275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90907669)-sin(0.90901777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614474444473609-0.614520927558863)×R²
    abs(0.14831677-0.14822089)×4.64830852543452e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64830852543452e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64830852543452e-05×40589641000000     		ar = 140904.942043391m²