Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34313 / 36345
↖ ↑ ↗
← S 19.274851°
E  8.486938°		 ← 576.55 m → S 19.274851°
E  8.492431°		 →
↑
576.51 m
↓
↑
576.51 m
↓
S 19.280036°
E  8.486938°		 ← 576.53 m →
332 383 m²		 S 19.280036°
E  8.492431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523582458496094 y=0.554588317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523582458496094 × 216)
    floor (0.523582458496094 × 65536)
    floor (34313.5)     		tx = 34313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554588317871094 × 216)
    floor (0.554588317871094 × 65536)
    floor (36345.5)     		ty = 36345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34313 / 36345 ti = "16/34313/36345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34313/36345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34313 ÷ 216
    34313 ÷ 65536     		x = 0.523574829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36345 ÷ 216
    36345 ÷ 65536     		y = 0.554580688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523574829101562 × 2 - 1) × π
    0.047149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14812502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554580688476562 × 2 - 1) × π
    -0.109161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.342940579881882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14812502} λ = 0.14812502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342940579881882))-π/2
    2×atan(0.709680379599363)-π/2
    2×0.617193360253866-π/2
    1.23438672050773-1.57079632675     		φ = -0.33640961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14812502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.486938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33640961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.274851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34313 KachelY 36345 0.14812502 -0.33640961 8.486938 -19.274851
    Oben rechts KachelX + 1 34314 KachelY 36345 0.14822089 -0.33640961 8.492431 -19.274851
    Unten links KachelX 34313 KachelY + 1 36346 0.14812502 -0.33650010 8.486938 -19.280036
    Unten rechts KachelX + 1 34314 KachelY + 1 36346 0.14822089 -0.33650010 8.492431 -19.280036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33640961--0.33650010) × R
    9.04899999999986e-05 × 6371000     		dl = 576.511789999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33640961--0.33650010) × R
    9.04899999999986e-05 × 6371000     		dr = 576.511789999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14812502-0.14822089) × cos(-0.33640961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943945935204918 × 6371000     		do = 576.550632764364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14812502-0.14822089) × cos(-0.33650010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.943916060582819 × 6371000     		du = 576.532385710552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33640961)-sin(-0.33650010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943945935204918-0.943916060582819)×R²
    abs(0.14822089-0.14812502)×2.98746220988022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98746220988022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98746220988022e-05×40589641000000     		ar = 332382.977726531m²