Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34313 / 36328
↖ ↑ ↗
← S 19.186678°
E  8.486938°		 ← 576.86 m → S 19.186678°
E  8.492431°		 →
↑
576.89 m
↓
↑
576.89 m
↓
S 19.191866°
E  8.486938°		 ← 576.84 m →
332 782 m²		 S 19.191866°
E  8.492431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523582458496094 y=0.554328918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523582458496094 × 216)
    floor (0.523582458496094 × 65536)
    floor (34313.5)     		tx = 34313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554328918457031 × 216)
    floor (0.554328918457031 × 65536)
    floor (36328.5)     		ty = 36328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34313 / 36328 ti = "16/34313/36328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34313/36328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34313 ÷ 216
    34313 ÷ 65536     		x = 0.523574829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36328 ÷ 216
    36328 ÷ 65536     		y = 0.5543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523574829101562 × 2 - 1) × π
    0.047149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14812502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.3413107252948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14812502} λ = 0.14812502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3413107252948))-π/2
    2×atan(0.710837998540425)-π/2
    2×0.61796281422789-π/2
    1.23592562845578-1.57079632675     		φ = -0.33487070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14812502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.486938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33487070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.186678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34313 KachelY 36328 0.14812502 -0.33487070 8.486938 -19.186678
    Oben rechts KachelX + 1 34314 KachelY 36328 0.14822089 -0.33487070 8.492431 -19.186678
    Unten links KachelX 34313 KachelY + 1 36329 0.14812502 -0.33496125 8.486938 -19.191866
    Unten rechts KachelX + 1 34314 KachelY + 1 36329 0.14822089 -0.33496125 8.492431 -19.191866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33487070--0.33496125) × R
    9.0549999999967e-05 × 6371000     		dl = 576.89404999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33487070--0.33496125) × R
    9.0549999999967e-05 × 6371000     		dr = 576.89404999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14812502-0.14822089) × cos(-0.33487070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944452811591632 × 6371000     		do = 576.860226662271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14812502-0.14822089) × cos(-0.33496125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.944423048728927 × 6371000     		du = 576.84204786973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33487070)-sin(-0.33496125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944452811591632-0.944423048728927)×R²
    abs(0.14822089-0.14812502)×2.97628627051738e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97628627051738e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97628627051738e-05×40589641000000     		ar = 332781.98905179m²