Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34312 / 21754
↖ ↑ ↗
← N 51.638476°
E  8.481446°		 ← 379.07 m → N 51.638476°
E  8.486938°		 →
↑
379.07 m
↓
↑
379.07 m
↓
N 51.635067°
E  8.481446°		 ← 379.10 m →
143 700 m²		 N 51.635067°
E  8.486938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523567199707031 y=0.331947326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523567199707031 × 216)
    floor (0.523567199707031 × 65536)
    floor (34312.5)     		tx = 34312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331947326660156 × 216)
    floor (0.331947326660156 × 65536)
    floor (21754.5)     		ty = 21754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34312 / 21754 ti = "16/34312/21754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34312/21754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34312 ÷ 216
    34312 ÷ 65536     		x = 0.5235595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21754 ÷ 216
    21754 ÷ 65536     		y = 0.331939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5235595703125 × 2 - 1) × π
    0.047119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14802915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331939697265625 × 2 - 1) × π
    0.33612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0559540248306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14802915} λ = 0.14802915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0559540248306))-π/2
    2×atan(2.87471639691006)-π/2
    2×1.23602887869374-π/2
    2.47205775738749-1.57079632675     		φ = 0.90126143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14802915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.481446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90126143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.638476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34312 KachelY 21754 0.14802915 0.90126143 8.481446 51.638476
    Oben rechts KachelX + 1 34313 KachelY 21754 0.14812502 0.90126143 8.486938 51.638476
    Unten links KachelX 34312 KachelY + 1 21755 0.14802915 0.90120193 8.481446 51.635067
    Unten rechts KachelX + 1 34313 KachelY + 1 21755 0.14812502 0.90120193 8.486938 51.635067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90126143-0.90120193) × R
    5.94999999999901e-05 × 6371000     		dl = 379.074499999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90126143-0.90120193) × R
    5.94999999999901e-05 × 6371000     		dr = 379.074499999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14802915-0.14812502) × cos(0.90126143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620621361914522 × 6371000     		do = 379.067937658125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14802915-0.14812502) × cos(0.90120193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620668015384935 × 6371000     		du = 379.096433027282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90126143)-sin(0.90120193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620621361914522-0.620668015384935)×R²
    abs(0.14812502-0.14802915)×4.6653470413105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6653470413105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6653470413105e-05×40589641000000     		ar = 143700.389909878m²