Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34311 / 21621
↖ ↑ ↗
← N 52.089633°
E  8.475952°		 ← 375.32 m → N 52.089633°
E  8.481446°		 →
↑
375.32 m
↓
↑
375.32 m
↓
N 52.086258°
E  8.475952°		 ← 375.35 m →
140 870 m²		 N 52.086258°
E  8.481446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523551940917969 y=0.329917907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523551940917969 × 216)
    floor (0.523551940917969 × 65536)
    floor (34311.5)     		tx = 34311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329917907714844 × 216)
    floor (0.329917907714844 × 65536)
    floor (21621.5)     		ty = 21621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34311 / 21621 ti = "16/34311/21621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34311/21621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34311 ÷ 216
    34311 ÷ 65536     		x = 0.523544311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21621 ÷ 216
    21621 ÷ 65536     		y = 0.329910278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523544311523438 × 2 - 1) × π
    0.047088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14793327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329910278320312 × 2 - 1) × π
    0.340179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06870524012953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14793327} λ = 0.14793327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06870524012953))-π/2
    2×atan(2.91160722621457)-π/2
    2×1.23996596101918-π/2
    2.47993192203836-1.57079632675     		φ = 0.90913560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14793327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.475952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90913560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.089633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34311 KachelY 21621 0.14793327 0.90913560 8.475952 52.089633
    Oben rechts KachelX + 1 34312 KachelY 21621 0.14802915 0.90913560 8.481446 52.089633
    Unten links KachelX 34311 KachelY + 1 21622 0.14793327 0.90907669 8.475952 52.086258
    Unten rechts KachelX + 1 34312 KachelY + 1 21622 0.14802915 0.90907669 8.481446 52.086258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90913560-0.90907669) × R
    5.89100000000231e-05 × 6371000     		dl = 375.315610000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90913560-0.90907669) × R
    5.89100000000231e-05 × 6371000     		dr = 375.315610000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14793327-0.14802915) × cos(0.90913560) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614427967144895 × 6371000     		do = 375.324233083821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14793327-0.14802915) × cos(0.90907669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.614474444473609 × 6371000     		du = 375.352623828853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90913560)-sin(0.90907669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614427967144895-0.614474444473609)×R²
    abs(0.14802915-0.14793327)×4.64773287139897e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.64773287139897e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.64773287139897e-05×40589641000000     		ar = 140870.371273373m²