Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3431 / 3895
↖ ↑ ↗
← N 79.578447°
W142.305908°		 ← 220.97 m → N 79.578447°
W142.294922°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
N 79.576460°
W142.305908°		 ← 221.01 m →
48 841 m²		 N 79.576460°
W142.294922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104721069335938 y=0.118881225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104721069335938 × 215)
    floor (0.104721069335938 × 32768)
    floor (3431.5)     		tx = 3431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118881225585938 × 215)
    floor (0.118881225585938 × 32768)
    floor (3895.5)     		ty = 3895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3431 / 3895 ti = "15/3431/3895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3431/3895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3431 ÷ 215
    3431 ÷ 32768     		x = 0.104705810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3895 ÷ 215
    3895 ÷ 32768     		y = 0.118865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104705810546875 × 2 - 1) × π
    -0.79058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48370664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118865966796875 × 2 - 1) × π
    0.76226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39473575741953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48370664} λ = -2.48370664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39473575741953))-π/2
    2×atan(10.9653001770109)-π/2
    2×1.47985112215844-π/2
    2.95970224431687-1.57079632675     		φ = 1.38890592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48370664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.305908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38890592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.578447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3431 KachelY 3895 -2.48370664 1.38890592 -142.305908 79.578447
    Oben rechts KachelX + 1 3432 KachelY 3895 -2.48351490 1.38890592 -142.294922 79.578447
    Unten links KachelX 3431 KachelY + 1 3896 -2.48370664 1.38887123 -142.305908 79.576460
    Unten rechts KachelX + 1 3432 KachelY + 1 3896 -2.48351490 1.38887123 -142.294922 79.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38890592-1.38887123) × R
    3.46900000001149e-05 × 6371000     		dl = 221.009990000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38890592-1.38887123) × R
    3.46900000001149e-05 × 6371000     		dr = 221.009990000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48370664--2.48351490) × cos(1.38890592) × R
    0.000191739999999996 × 0.180889117226705 × 6371000     		do = 220.969721056331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48370664--2.48351490) × cos(1.38887123) × R
    0.000191739999999996 × 0.180923234854145 × 6371000     		du = 221.011398315494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38890592)-sin(1.38887123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180889117226705-0.180923234854145)×R²
    abs(-2.48351490--2.48370664)×3.41176274399058e-05×R²
    0.000191739999999996×3.41176274399058e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.41176274399058e-05×40589641000000     		ar = 48841.1213911298m²