Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3431 / 1168
↖ ↑ ↗
← N 77.915669°
W 29.223633°		 ← 1 022.99 m → N 77.915669°
W 29.179687°		 →
↑
1 023.37 m
↓
↑
1 023.37 m
↓
N 77.906465°
W 29.223633°		 ← 1 023.76 m →
1 047 297 m²		 N 77.906465°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41888427734375 y=0.14263916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41888427734375 × 213)
    floor (0.41888427734375 × 8192)
    floor (3431.5)     		tx = 3431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14263916015625 × 213)
    floor (0.14263916015625 × 8192)
    floor (1168.5)     		ty = 1168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3431 / 1168 ti = "13/3431/1168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3431/1168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3431 ÷ 213
    3431 ÷ 8192     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1168 ÷ 213
    1168 ÷ 8192     		y = 0.142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142578125 × 2 - 1) × π
    0.71484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24574787340039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24574787340039))-π/2
    2×atan(9.44747843288317)-π/2
    2×1.46534064474344-π/2
    2.93068128948688-1.57079632675     		φ = 1.35988496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35988496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.915669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3431 KachelY 1168 -0.51004861 1.35988496 -29.223633 77.915669
    Oben rechts KachelX + 1 3432 KachelY 1168 -0.50928162 1.35988496 -29.179687 77.915669
    Unten links KachelX 3431 KachelY + 1 1169 -0.51004861 1.35972433 -29.223633 77.906465
    Unten rechts KachelX + 1 3432 KachelY + 1 1169 -0.50928162 1.35972433 -29.179687 77.906465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35988496-1.35972433) × R
    0.000160630000000106 × 6371000     		dl = 1023.37373000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35988496-1.35972433) × R
    0.000160630000000106 × 6371000     		dr = 1023.37373000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.50928162) × cos(1.35988496) × R
    0.000766990000000023 × 0.209351158050482 × 6371000     		do = 1022.99302906744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.50928162) × cos(1.35972433) × R
    0.000766990000000023 × 0.209508225872522 × 6371000     		du = 1023.76053992592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35988496)-sin(1.35972433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209351158050482-0.209508225872522)×R²
    abs(-0.50928162--0.51004861)×0.000157067822040308×R²
    0.000766990000000023×0.000157067822040308×6371000²
    0.000766990000000023×0.000157067822040308×40589641000000     		ar = 1047296.91939868m²