Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3431 / 1053
↖ ↑ ↗
← N 78.929273°
W 29.223633°		 ← 938.31 m → N 78.929273°
W 29.179687°		 →
↑
938.64 m
↓
↑
938.64 m
↓
N 78.920832°
W 29.223633°		 ← 939.01 m →
881 064 m²		 N 78.920832°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41888427734375 y=0.12860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41888427734375 × 213)
    floor (0.41888427734375 × 8192)
    floor (3431.5)     		tx = 3431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12860107421875 × 213)
    floor (0.12860107421875 × 8192)
    floor (1053.5)     		ty = 1053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3431 / 1053 ti = "13/3431/1053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3431/1053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3431 ÷ 213
    3431 ÷ 8192     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1053 ÷ 213
    1053 ÷ 8192     		y = 0.1285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1285400390625 × 2 - 1) × π
    0.742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33395176870129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33395176870129))-π/2
    2×atan(10.3186379391382)-π/2
    2×1.47418601021624-π/2
    2.94837202043247-1.57079632675     		φ = 1.37757569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37757569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.929273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3431 KachelY 1053 -0.51004861 1.37757569 -29.223633 78.929273
    Oben rechts KachelX + 1 3432 KachelY 1053 -0.50928162 1.37757569 -29.179687 78.929273
    Unten links KachelX 3431 KachelY + 1 1054 -0.51004861 1.37742836 -29.223633 78.920832
    Unten rechts KachelX + 1 3432 KachelY + 1 1054 -0.50928162 1.37742836 -29.179687 78.920832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37757569-1.37742836) × R
    0.000147330000000112 × 6371000     		dl = 938.639430000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37757569-1.37742836) × R
    0.000147330000000112 × 6371000     		dr = 938.639430000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.50928162) × cos(1.37757569) × R
    0.000766990000000023 × 0.192020589012658 × 6371000     		do = 938.307319752229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.50928162) × cos(1.37742836) × R
    0.000766990000000023 × 0.192165175249029 × 6371000     		du = 939.013839426084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37757569)-sin(1.37742836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192020589012658-0.192165175249029)×R²
    abs(-0.50928162--0.51004861)×0.000144586236371314×R²
    0.000766990000000023×0.000144586236371314×6371000²
    0.000766990000000023×0.000144586236371314×40589641000000     		ar = 881063.832983918m²