Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34303 / 34302
↖ ↑ ↗
← S  8.396300°
E  8.432007°		 ← 604.30 m → S  8.396300°
E  8.437500°		 →
↑
604.23 m
↓
↑
604.23 m
↓
S  8.401734°
E  8.432007°		 ← 604.30 m →
365 134 m²		 S  8.401734°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523429870605469 y=0.523414611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523429870605469 × 216)
    floor (0.523429870605469 × 65536)
    floor (34303.5)     		tx = 34303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523414611816406 × 216)
    floor (0.523414611816406 × 65536)
    floor (34302.5)     		ty = 34302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34303 / 34302 ti = "16/34303/34302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34303/34302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34303 ÷ 216
    34303 ÷ 65536     		x = 0.523422241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34302 ÷ 216
    34302 ÷ 65536     		y = 0.523406982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523422241210938 × 2 - 1) × π
    0.046844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14716628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523406982421875 × 2 - 1) × π
    -0.04681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.147070408034332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14716628} λ = 0.14716628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147070408034332))-π/2
    2×atan(0.863233196724068)-π/2
    2×0.712126625660689-π/2
    1.42425325132138-1.57079632675     		φ = -0.14654308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14716628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.432007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14654308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.396300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34303 KachelY 34302 0.14716628 -0.14654308 8.432007 -8.396300
    Oben rechts KachelX + 1 34304 KachelY 34302 0.14726216 -0.14654308 8.437500 -8.396300
    Unten links KachelX 34303 KachelY + 1 34303 0.14716628 -0.14663792 8.432007 -8.401734
    Unten rechts KachelX + 1 34304 KachelY + 1 34303 0.14726216 -0.14663792 8.437500 -8.401734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14654308--0.14663792) × R
    9.48400000000127e-05 × 6371000     		dl = 604.225640000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14654308--0.14663792) × R
    9.48400000000127e-05 × 6371000     		dr = 604.225640000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14716628-0.14726216) × cos(-0.14654308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989281764528453 × 6371000     		do = 604.30422999917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14716628-0.14726216) × cos(-0.14663792) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989267911623761 × 6371000     		du = 604.295767931837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14654308)-sin(-0.14663792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989281764528453-0.989267911623761)×R²
    abs(0.14726216-0.14716628)×1.38529046918023e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.38529046918023e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.38529046918023e-05×40589641000000     		ar = 365133.553900618m²