Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34302 / 34298
↖ ↑ ↗
← S  8.374562°
E  8.426514°		 ← 604.27 m → S  8.374562°
E  8.432007°		 →
↑
604.29 m
↓
↑
604.29 m
↓
S  8.379996°
E  8.426514°		 ← 604.27 m →
365 154 m²		 S  8.379996°
E  8.432007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523414611816406 y=0.523353576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523414611816406 × 216)
    floor (0.523414611816406 × 65536)
    floor (34302.5)     		tx = 34302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523353576660156 × 216)
    floor (0.523353576660156 × 65536)
    floor (34298.5)     		ty = 34298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34302 / 34298 ti = "16/34302/34298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34302/34298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34302 ÷ 216
    34302 ÷ 65536     		x = 0.523406982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34298 ÷ 216
    34298 ÷ 65536     		y = 0.523345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523406982421875 × 2 - 1) × π
    0.04681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14707041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.04669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.146686912837372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14707041} λ = 0.14707041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146686912837372))-π/2
    2×atan(0.863564305994218)-π/2
    2×0.712316323370096-π/2
    1.42463264674019-1.57079632675     		φ = -0.14616368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14707041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.426514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14616368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.374562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34302 KachelY 34298 0.14707041 -0.14616368 8.426514 -8.374562
    Oben rechts KachelX + 1 34303 KachelY 34298 0.14716628 -0.14616368 8.432007 -8.374562
    Unten links KachelX 34302 KachelY + 1 34299 0.14707041 -0.14625853 8.426514 -8.379996
    Unten rechts KachelX + 1 34303 KachelY + 1 34299 0.14716628 -0.14625853 8.432007 -8.379996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14616368--0.14625853) × R
    9.48500000000074e-05 × 6371000     		dl = 604.289350000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14616368--0.14625853) × R
    9.48500000000074e-05 × 6371000     		dr = 604.289350000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14707041-0.14716628) × cos(-0.14616368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989337092989537 × 6371000     		do = 604.274996805349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14707041-0.14716628) × cos(-0.14625853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.989323274224845 × 6371000     		du = 604.266556472878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14616368)-sin(-0.14625853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989337092989537-0.989323274224845)×R²
    abs(0.14716628-0.14707041)×1.38187646918642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.38187646918642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.38187646918642e-05×40589641000000     		ar = 365154.395113072m²