Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3430 / 1100
↖ ↑ ↗
← N 78.525573°
W 29.267578°		 ← 972.07 m → N 78.525573°
W 29.223633°		 →
↑
972.47 m
↓
↑
972.47 m
↓
N 78.516827°
W 29.267578°		 ← 972.80 m →
945 666 m²		 N 78.516827°
W 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41876220703125 y=0.13433837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41876220703125 × 213)
    floor (0.41876220703125 × 8192)
    floor (3430.5)     		tx = 3430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13433837890625 × 213)
    floor (0.13433837890625 × 8192)
    floor (1100.5)     		ty = 1100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3430 / 1100 ti = "13/3430/1100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3430/1100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3430 ÷ 213
    3430 ÷ 8192     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1100 ÷ 213
    1100 ÷ 8192     		y = 0.13427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13427734375 × 2 - 1) × π
    0.7314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29790322018701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29790322018701))-π/2
    2×atan(9.95329070075068)-π/2
    2×1.47066305732131-π/2
    2.94132611464262-1.57079632675     		φ = 1.37052979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37052979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.525573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3430 KachelY 1100 -0.51081560 1.37052979 -29.267578 78.525573
    Oben rechts KachelX + 1 3431 KachelY 1100 -0.51004861 1.37052979 -29.223633 78.525573
    Unten links KachelX 3430 KachelY + 1 1101 -0.51081560 1.37037715 -29.267578 78.516827
    Unten rechts KachelX + 1 3431 KachelY + 1 1101 -0.51004861 1.37037715 -29.223633 78.516827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37052979-1.37037715) × R
    0.000152640000000037 × 6371000     		dl = 972.469440000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37052979-1.37037715) × R
    0.000152640000000037 × 6371000     		dr = 972.469440000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51004861) × cos(1.37052979) × R
    0.000766990000000023 × 0.198930547539492 × 6371000     		do = 972.072785727781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51004861) × cos(1.37037715) × R
    0.000766990000000023 × 0.199080134495902 × 6371000     		du = 972.803741386553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37052979)-sin(1.37037715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198930547539492-0.199080134495902)×R²
    abs(-0.51004861--0.51081560)×0.000149586956410624×R²
    0.000766990000000023×0.000149586956410624×6371000²
    0.000766990000000023×0.000149586956410624×40589641000000     		ar = 945666.495430719m²