Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 343 / 221
↖ ↑ ↗
← N 80.268259°
W119.707031°		 ← 3 303.96 m → N 80.268259°
W119.531250°		 →
↑
3 308.97 m
↓
↑
3 308.97 m
↓
N 80.238500°
W119.707031°		 ← 3 313.97 m →
10 949 264 m²		 N 80.238500°
W119.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167724609375 y=0.108154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167724609375 × 211)
    floor (0.167724609375 × 2048)
    floor (343.5)     		tx = 343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108154296875 × 211)
    floor (0.108154296875 × 2048)
    floor (221.5)     		ty = 221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 343 / 221 ti = "11/343/221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/343/221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 343 ÷ 211
    343 ÷ 2048     		x = 0.16748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 221 ÷ 211
    221 ÷ 2048     		y = 0.10791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16748046875 × 2 - 1) × π
    -0.6650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.08928183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10791015625 × 2 - 1) × π
    0.7841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46357314527393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08928183} λ = -2.08928183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46357314527393))-π/2
    2×atan(11.7467093409048)-π/2
    2×1.48587086359746-π/2
    2.97174172719493-1.57079632675     		φ = 1.40094540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08928183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40094540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.268259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 343 KachelY 221 -2.08928183 1.40094540 -119.707031 80.268259
    Oben rechts KachelX + 1 344 KachelY 221 -2.08621387 1.40094540 -119.531250 80.268259
    Unten links KachelX 343 KachelY + 1 222 -2.08928183 1.40042602 -119.707031 80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 344 KachelY + 1 222 -2.08621387 1.40042602 -119.531250 80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40094540-1.40042602) × R
    0.000519379999999847 × 6371000     		dl = 3308.96997999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40094540-1.40042602) × R
    0.000519379999999847 × 6371000     		dr = 3308.96997999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08928183--2.08621387) × cos(1.40094540) × R
    0.00306796000000009 × 0.169035422907582 × 6371000     		do = 3303.96183924094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08928183--2.08621387) × cos(1.40042602) × R
    0.00306796000000009 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 3313.96709623873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40094540)-sin(1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169035422907582-0.169547306195044)×R²
    abs(-2.08621387--2.08928183)×0.000511883287462239×R²
    0.00306796000000009×0.000511883287462239×6371000²
    0.00306796000000009×0.000511883287462239×40589641000000     		ar = 10949264.3347682m²