Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34298 / 34776
↖ ↑ ↗
← S 10.962764°
E  8.404541°		 ← 599.70 m → S 10.962764°
E  8.410034°		 →
↑
599.64 m
↓
↑
599.64 m
↓
S 10.968157°
E  8.404541°		 ← 599.69 m →
359 602 m²		 S 10.968157°
E  8.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523353576660156 y=0.530647277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523353576660156 × 216)
    floor (0.523353576660156 × 65536)
    floor (34298.5)     		tx = 34298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530647277832031 × 216)
    floor (0.530647277832031 × 65536)
    floor (34776.5)     		ty = 34776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34298 / 34776 ti = "16/34298/34776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34298/34776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34298 ÷ 216
    34298 ÷ 65536     		x = 0.523345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34776 ÷ 216
    34776 ÷ 65536     		y = 0.5306396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523345947265625 × 2 - 1) × π
    0.04669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14668691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.061279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.192514588874146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14668691} λ = 0.14668691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192514588874146))-π/2
    2×atan(0.824882284011995)-π/2
    2×0.6897299977032-π/2
    1.3794599954064-1.57079632675     		φ = -0.19133633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14668691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19133633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.962764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34298 KachelY 34776 0.14668691 -0.19133633 8.404541 -10.962764
    Oben rechts KachelX + 1 34299 KachelY 34776 0.14678279 -0.19133633 8.410034 -10.962764
    Unten links KachelX 34298 KachelY + 1 34777 0.14668691 -0.19143045 8.404541 -10.968157
    Unten rechts KachelX + 1 34299 KachelY + 1 34777 0.14678279 -0.19143045 8.410034 -10.968157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19133633--0.19143045) × R
    9.41200000000031e-05 × 6371000     		dl = 599.63852000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19133633--0.19143045) × R
    9.41200000000031e-05 × 6371000     		dr = 599.63852000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14668691-0.14678279) × cos(-0.19133633) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981750980564677 × 6371000     		do = 599.704039469338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14668691-0.14678279) × cos(-0.19143045) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981733077321004 × 6371000     		du = 599.693103246444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19133633)-sin(-0.19143045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981750980564677-0.981733077321004)×R²
    abs(0.14678279-0.14668691)×1.7903243673012e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.7903243673012e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.7903243673012e-05×40589641000000     		ar = 359602.36404062m²