Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34298 / 21755
↖ ↑ ↗
← N 51.635067°
E  8.404541°		 ← 379.14 m → N 51.635067°
E  8.410034°		 →
↑
379.14 m
↓
↑
379.14 m
↓
N 51.631657°
E  8.404541°		 ← 379.16 m →
143 750 m²		 N 51.631657°
E  8.410034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523353576660156 y=0.331962585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523353576660156 × 216)
    floor (0.523353576660156 × 65536)
    floor (34298.5)     		tx = 34298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331962585449219 × 216)
    floor (0.331962585449219 × 65536)
    floor (21755.5)     		ty = 21755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34298 / 21755 ti = "16/34298/21755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34298/21755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34298 ÷ 216
    34298 ÷ 65536     		x = 0.523345947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21755 ÷ 216
    21755 ÷ 65536     		y = 0.331954956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523345947265625 × 2 - 1) × π
    0.04669189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14668691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331954956054688 × 2 - 1) × π
    0.336090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05585815103136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14668691} λ = 0.14668691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05585815103136))-π/2
    2×atan(2.87444080013882)-π/2
    2×1.23599912691157-π/2
    2.47199825382313-1.57079632675     		φ = 0.90120193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14668691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.404541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90120193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.635067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34298 KachelY 21755 0.14668691 0.90120193 8.404541 51.635067
    Oben rechts KachelX + 1 34299 KachelY 21755 0.14678279 0.90120193 8.410034 51.635067
    Unten links KachelX 34298 KachelY + 1 21756 0.14668691 0.90114242 8.404541 51.631657
    Unten rechts KachelX + 1 34299 KachelY + 1 21756 0.14678279 0.90114242 8.410034 51.631657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90120193-0.90114242) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dl = 379.138210000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90120193-0.90114242) × R
    5.95100000000404e-05 × 6371000     		dr = 379.138210000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14668691-0.14678279) × cos(0.90120193) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620668015384935 × 6371000     		do = 379.135975786521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14668691-0.14678279) × cos(0.90114242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.620714674498393 × 6371000     		du = 379.164477575033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90120193)-sin(0.90114242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620668015384935-0.620714674498393)×R²
    abs(0.14678279-0.14668691)×4.66591134585803e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66591134585803e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66591134585803e-05×40589641000000     		ar = 143750.338307459m²