Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34297 / 36135
↖ ↑ ↗
← S 18.182388°
E  8.399048°		 ← 580.29 m → S 18.182388°
E  8.404541°		 →
↑
580.33 m
↓
↑
580.33 m
↓
S 18.187607°
E  8.399048°		 ← 580.27 m →
336 757 m²		 S 18.187607°
E  8.404541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523338317871094 y=0.551383972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523338317871094 × 216)
    floor (0.523338317871094 × 65536)
    floor (34297.5)     		tx = 34297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551383972167969 × 216)
    floor (0.551383972167969 × 65536)
    floor (36135.5)     		ty = 36135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34297 / 36135 ti = "16/34297/36135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34297/36135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34297 ÷ 216
    34297 ÷ 65536     		x = 0.523330688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36135 ÷ 216
    36135 ÷ 65536     		y = 0.551376342773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523330688476562 × 2 - 1) × π
    0.046661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14659104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551376342773438 × 2 - 1) × π
    -0.102752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.322807082041458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14659104} λ = 0.14659104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.322807082041458))-π/2
    2×atan(0.724113535398994)-π/2
    2×0.626726897336466-π/2
    1.25345379467293-1.57079632675     		φ = -0.31734253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14659104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.399048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31734253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.182388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34297 KachelY 36135 0.14659104 -0.31734253 8.399048 -18.182388
    Oben rechts KachelX + 1 34298 KachelY 36135 0.14668691 -0.31734253 8.404541 -18.182388
    Unten links KachelX 34297 KachelY + 1 36136 0.14659104 -0.31743362 8.399048 -18.187607
    Unten rechts KachelX + 1 34298 KachelY + 1 36136 0.14668691 -0.31743362 8.404541 -18.187607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31734253--0.31743362) × R
    9.10900000000159e-05 × 6371000     		dl = 580.334390000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31734253--0.31743362) × R
    9.10900000000159e-05 × 6371000     		dr = 580.334390000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14659104-0.14668691) × cos(-0.31734253) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950068016478384 × 6371000     		do = 580.289925133143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14659104-0.14668691) × cos(-0.31743362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.950039588550197 × 6371000     		du = 580.27256170228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31734253)-sin(-0.31743362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950068016478384-0.950039588550197)×R²
    abs(0.14668691-0.14659104)×2.84279281868027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.84279281868027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.84279281868027e-05×40589641000000     		ar = 336757.161660121m²