Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34296 / 34777
↖ ↑ ↗
← S 10.968157°
E  8.393555°		 ← 599.63 m → S 10.968157°
E  8.399048°		 →
↑
599.70 m
↓
↑
599.70 m
↓
S 10.973550°
E  8.393555°		 ← 599.62 m →
359 597 m²		 S 10.973550°
E  8.399048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523323059082031 y=0.530662536621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523323059082031 × 216)
    floor (0.523323059082031 × 65536)
    floor (34296.5)     		tx = 34296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530662536621094 × 216)
    floor (0.530662536621094 × 65536)
    floor (34777.5)     		ty = 34777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34296 / 34777 ti = "16/34296/34777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34296/34777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34296 ÷ 216
    34296 ÷ 65536     		x = 0.5233154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34777 ÷ 216
    34777 ÷ 65536     		y = 0.530654907226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5233154296875 × 2 - 1) × π
    0.046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14649517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530654907226562 × 2 - 1) × π
    -0.061309814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.192610462673386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14649517} λ = 0.14649517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192610462673386))-π/2
    2×atan(0.82480320320445)-π/2
    2×0.689682936034101-π/2
    1.3793658720682-1.57079632675     		φ = -0.19143045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14649517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.393555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19143045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.968157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34296 KachelY 34777 0.14649517 -0.19143045 8.393555 -10.968157
    Oben rechts KachelX + 1 34297 KachelY 34777 0.14659104 -0.19143045 8.399048 -10.968157
    Unten links KachelX 34296 KachelY + 1 34778 0.14649517 -0.19152458 8.393555 -10.973550
    Unten rechts KachelX + 1 34297 KachelY + 1 34778 0.14659104 -0.19152458 8.399048 -10.973550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19143045--0.19152458) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dl = 599.702229999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19143045--0.19152458) × R
    9.41299999999978e-05 × 6371000     		dr = 599.702229999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14649517-0.14659104) × cos(-0.19143045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981733077321004 × 6371000     		do = 599.63055703212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14649517-0.14659104) × cos(-0.19152458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981715163477017 × 6371000     		du = 599.6196154753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19143045)-sin(-0.19152458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981733077321004-0.981715163477017)×R²
    abs(0.14659104-0.14649517)×1.79138439866389e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79138439866389e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79138439866389e-05×40589641000000     		ar = 359596.501655777m²