Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34293 / 34309
↖ ↑ ↗
← S  8.434338°
E  8.377075°		 ← 604.24 m → S  8.434338°
E  8.382568°		 →
↑
604.16 m
↓
↑
604.16 m
↓
S  8.439771°
E  8.377075°		 ← 604.24 m →
365 059 m²		 S  8.439771°
E  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523277282714844 y=0.523521423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523277282714844 × 216)
    floor (0.523277282714844 × 65536)
    floor (34293.5)     		tx = 34293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523521423339844 × 216)
    floor (0.523521423339844 × 65536)
    floor (34309.5)     		ty = 34309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34293 / 34309 ti = "16/34293/34309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34293/34309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34293 ÷ 216
    34293 ÷ 65536     		x = 0.523269653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34309 ÷ 216
    34309 ÷ 65536     		y = 0.523513793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523269653320312 × 2 - 1) × π
    0.046539306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14620754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523513793945312 × 2 - 1) × π
    -0.047027587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.147741524629013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14620754} λ = 0.14620754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147741524629013))-π/2
    2×atan(0.862654060956216)-π/2
    2×0.711794680245263-π/2
    1.42358936049053-1.57079632675     		φ = -0.14720697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14620754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.377075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14720697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.434338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34293 KachelY 34309 0.14620754 -0.14720697 8.377075 -8.434338
    Oben rechts KachelX + 1 34294 KachelY 34309 0.14630342 -0.14720697 8.382568 -8.434338
    Unten links KachelX 34293 KachelY + 1 34310 0.14620754 -0.14730180 8.377075 -8.439771
    Unten rechts KachelX + 1 34294 KachelY + 1 34310 0.14630342 -0.14730180 8.382568 -8.439771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14720697--0.14730180) × R
    9.4830000000018e-05 × 6371000     		dl = 604.161930000114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14720697--0.14730180) × R
    9.4830000000018e-05 × 6371000     		dr = 604.161930000114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14620754-0.14630342) × cos(-0.14720697) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989184605873234 × 6371000     		do = 604.244880490835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14620754-0.14630342) × cos(-0.14730180) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.989170692151261 × 6371000     		du = 604.236381273176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14720697)-sin(-0.14730180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989184605873234-0.989170692151261)×R²
    abs(0.14630342-0.14620754)×1.39137219731245e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.39137219731245e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.39137219731245e-05×40589641000000     		ar = 365059.186011741m²