Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34292 / 34767
↖ ↑ ↗
← S 10.914224°
E  8.371582°		 ← 599.74 m → S 10.914224°
E  8.377075°		 →
↑
599.77 m
↓
↑
599.77 m
↓
S 10.919618°
E  8.371582°		 ← 599.73 m →
359 700 m²		 S 10.919618°
E  8.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523262023925781 y=0.530509948730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523262023925781 × 216)
    floor (0.523262023925781 × 65536)
    floor (34292.5)     		tx = 34292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530509948730469 × 216)
    floor (0.530509948730469 × 65536)
    floor (34767.5)     		ty = 34767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34292 / 34767 ti = "16/34292/34767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34292/34767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34292 ÷ 216
    34292 ÷ 65536     		x = 0.52325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34767 ÷ 216
    34767 ÷ 65536     		y = 0.530502319335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52325439453125 × 2 - 1) × π
    0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.530502319335938 × 2 - 1) × π
    -0.061004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.191651724680984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14611167} λ = 0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.191651724680984))-π/2
    2×atan(0.82559435256349)-π/2
    2×0.690153591289444-π/2
    1.38030718257889-1.57079632675     		φ = -0.19048914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19048914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.914224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34292 KachelY 34767 0.14611167 -0.19048914 8.371582 -10.914224
    Oben rechts KachelX + 1 34293 KachelY 34767 0.14620754 -0.19048914 8.377075 -10.914224
    Unten links KachelX 34292 KachelY + 1 34768 0.14611167 -0.19058328 8.371582 -10.919618
    Unten rechts KachelX + 1 34293 KachelY + 1 34768 0.14620754 -0.19058328 8.377075 -10.919618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19048914--0.19058328) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dl = 599.765939999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19048914--0.19058328) × R
    9.41399999999926e-05 × 6371000     		dr = 599.765939999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14611167-0.14620754) × cos(-0.19048914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981911739204913 × 6371000     		do = 599.739681525777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14611167-0.14620754) × cos(-0.19058328) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9818939104607 × 6371000     		du = 599.728791946857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19048914)-sin(-0.19058328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981911739204913-0.9818939104607)×R²
    abs(0.14620754-0.14611167)×1.78287442128555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78287442128555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78287442128555e-05×40589641000000     		ar = 359700.168511936m²