Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34292 / 21733
↖ ↑ ↗
← N 51.710012°
E  8.371582°		 ← 378.47 m → N 51.710012°
E  8.377075°		 →
↑
378.50 m
↓
↑
378.50 m
↓
N 51.706608°
E  8.371582°		 ← 378.50 m →
143 257 m²		 N 51.706608°
E  8.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523262023925781 y=0.331626892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523262023925781 × 216)
    floor (0.523262023925781 × 65536)
    floor (34292.5)     		tx = 34292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331626892089844 × 216)
    floor (0.331626892089844 × 65536)
    floor (21733.5)     		ty = 21733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34292 / 21733 ti = "16/34292/21733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34292/21733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34292 ÷ 216
    34292 ÷ 65536     		x = 0.52325439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21733 ÷ 216
    21733 ÷ 65536     		y = 0.331619262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52325439453125 × 2 - 1) × π
    0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331619262695312 × 2 - 1) × π
    0.336761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05796737461464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14611167} λ = 0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05796737461464))-π/2
    2×atan(2.88051003690179)-π/2
    2×1.23665314957909-π/2
    2.47330629915819-1.57079632675     		φ = 0.90250997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90250997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.710012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34292 KachelY 21733 0.14611167 0.90250997 8.371582 51.710012
    Oben rechts KachelX + 1 34293 KachelY 21733 0.14620754 0.90250997 8.377075 51.710012
    Unten links KachelX 34292 KachelY + 1 21734 0.14611167 0.90245056 8.371582 51.706608
    Unten rechts KachelX + 1 34293 KachelY + 1 21734 0.14620754 0.90245056 8.377075 51.706608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90250997-0.90245056) × R
    5.9409999999982e-05 × 6371000     		dl = 378.501109999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90250997-0.90245056) × R
    5.9409999999982e-05 × 6371000     		dr = 378.501109999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14611167-0.14620754) × cos(0.90250997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619641885237077 × 6371000     		do = 378.469685282542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14611167-0.14620754) × cos(0.90245056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.619688514141345 × 6371000     		du = 378.498165646997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90250997)-sin(0.90245056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619641885237077-0.619688514141345)×R²
    abs(0.14620754-0.14611167)×4.66289042676538e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66289042676538e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66289042676538e-05×40589641000000     		ar = 143256.585947857m²