Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34291 / 34780
↖ ↑ ↗
← S 10.984335°
E  8.366089°		 ← 599.60 m → S 10.984335°
E  8.371582°		 →
↑
599.64 m
↓
↑
599.64 m
↓
S 10.989728°
E  8.366089°		 ← 599.59 m →
359 539 m²		 S 10.989728°
E  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523246765136719 y=0.530708312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523246765136719 × 216)
    floor (0.523246765136719 × 65536)
    floor (34291.5)     		tx = 34291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530708312988281 × 216)
    floor (0.530708312988281 × 65536)
    floor (34780.5)     		ty = 34780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34291 / 34780 ti = "16/34291/34780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34291/34780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34291 ÷ 216
    34291 ÷ 65536     		x = 0.523239135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34780 ÷ 216
    34780 ÷ 65536     		y = 0.53070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523239135742188 × 2 - 1) × π
    0.046478271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14601580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53070068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0614013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.192898084071106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14601580} λ = 0.14601580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.192898084071106))-π/2
    2×atan(0.824566006267392)-π/2
    2×0.689541756179149-π/2
    1.3790835123583-1.57079632675     		φ = -0.19171281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14601580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19171281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.984335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34291 KachelY 34780 0.14601580 -0.19171281 8.366089 -10.984335
    Oben rechts KachelX + 1 34292 KachelY 34780 0.14611167 -0.19171281 8.371582 -10.984335
    Unten links KachelX 34291 KachelY + 1 34781 0.14601580 -0.19180693 8.366089 -10.989728
    Unten rechts KachelX + 1 34292 KachelY + 1 34781 0.14611167 -0.19180693 8.371582 -10.989728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19171281--0.19180693) × R
    9.41199999999753e-05 × 6371000     		dl = 599.638519999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19171281--0.19180693) × R
    9.41199999999753e-05 × 6371000     		dr = 599.638519999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14601580-0.14611167) × cos(-0.19171281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981679315410086 × 6371000     		do = 599.59771991444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14601580-0.14611167) × cos(-0.19180693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981661377380344 × 6371000     		du = 599.586763585255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19171281)-sin(-0.19180693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981679315410086-0.981661377380344)×R²
    abs(0.14611167-0.14601580)×1.79380297427034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79380297427034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79380297427034e-05×40589641000000     		ar = 359538.604711727m²