Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3429 / 900
↖ ↑ ↗
← N 80.148684°
W 29.311523°		 ← 836.04 m → N 80.148684°
W 29.267578°		 →
↑
836.38 m
↓
↑
836.38 m
↓
N 80.141162°
W 29.311523°		 ← 836.67 m →
699 515 m²		 N 80.141162°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41864013671875 y=0.10992431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41864013671875 × 213)
    floor (0.41864013671875 × 8192)
    floor (3429.5)     		tx = 3429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10992431640625 × 213)
    floor (0.10992431640625 × 8192)
    floor (900.5)     		ty = 900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3429 / 900 ti = "13/3429/900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3429/900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3429 ÷ 213
    3429 ÷ 8192     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 900 ÷ 213
    900 ÷ 8192     		y = 0.10986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10986328125 × 2 - 1) × π
    0.7802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45130129897119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45130129897119))-π/2
    2×atan(11.6034364388759)-π/2
    2×1.4848273780959-π/2
    2.9696547561918-1.57079632675     		φ = 1.39885843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39885843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.148684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3429 KachelY 900 -0.51158259 1.39885843 -29.311523 80.148684
    Oben rechts KachelX + 1 3430 KachelY 900 -0.51081560 1.39885843 -29.267578 80.148684
    Unten links KachelX 3429 KachelY + 1 901 -0.51158259 1.39872715 -29.311523 80.141162
    Unten rechts KachelX + 1 3430 KachelY + 1 901 -0.51081560 1.39872715 -29.267578 80.141162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39885843-1.39872715) × R
    0.000131279999999956 × 6371000     		dl = 836.384879999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39885843-1.39872715) × R
    0.000131279999999956 × 6371000     		dr = 836.384879999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.39885843) × R
    0.000766989999999912 × 0.171091991755112 × 6371000     		do = 836.039869683994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.39872715) × R
    0.000766989999999912 × 0.171221334564487 × 6371000     		du = 836.671902454114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39885843)-sin(1.39872715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171091991755112-0.171221334564487)×R²
    abs(-0.51081560--0.51158259)×0.000129342809374933×R²
    0.000766989999999912×0.000129342809374933×6371000²
    0.000766989999999912×0.000129342809374933×40589641000000     		ar = 699515.418411106m²