Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3429 / 891
↖ ↑ ↗
← N 80.216123°
W 29.311523°		 ← 830.37 m → N 80.216123°
W 29.267578°		 →
↑
830.71 m
↓
↑
830.71 m
↓
N 80.208652°
W 29.311523°		 ← 831 m →
690 063 m²		 N 80.208652°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41864013671875 y=0.10882568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41864013671875 × 213)
    floor (0.41864013671875 × 8192)
    floor (3429.5)     		tx = 3429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10882568359375 × 213)
    floor (0.10882568359375 × 8192)
    floor (891.5)     		ty = 891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3429 / 891 ti = "13/3429/891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3429/891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3429 ÷ 213
    3429 ÷ 8192     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 891 ÷ 213
    891 ÷ 8192     		y = 0.1087646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1087646484375 × 2 - 1) × π
    0.782470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45820421251648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45820421251648))-π/2
    2×atan(11.6838110477745)-π/2
    2×1.48541589102994-π/2
    2.97083178205988-1.57079632675     		φ = 1.40003546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40003546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.216123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3429 KachelY 891 -0.51158259 1.40003546 -29.311523 80.216123
    Oben rechts KachelX + 1 3430 KachelY 891 -0.51081560 1.40003546 -29.267578 80.216123
    Unten links KachelX 3429 KachelY + 1 892 -0.51158259 1.39990507 -29.311523 80.208652
    Unten rechts KachelX + 1 3430 KachelY + 1 892 -0.51081560 1.39990507 -29.267578 80.208652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40003546-1.39990507) × R
    0.000130390000000036 × 6371000     		dl = 830.714690000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40003546-1.39990507) × R
    0.000130390000000036 × 6371000     		dr = 830.714690000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.40003546) × R
    0.000766989999999912 × 0.169932198745964 × 6371000     		do = 830.372548927002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.39990507) × R
    0.000766989999999912 × 0.170060690877121 × 6371000     		du = 831.000424863722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40003546)-sin(1.39990507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169932198745964-0.170060690877121)×R²
    abs(-0.51081560--0.51158259)×0.00012849213115787×R²
    0.000766989999999912×0.00012849213115787×6371000²
    0.000766989999999912×0.00012849213115787×40589641000000     		ar = 690063.468427079m²