Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3429 / 1105
↖ ↑ ↗
← N 78.481780°
W 29.311523°		 ← 975.73 m → N 78.481780°
W 29.267578°		 →
↑
976.10 m
↓
↑
976.10 m
↓
N 78.473001°
W 29.311523°		 ← 976.47 m →
952 772 m²		 N 78.473001°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41864013671875 y=0.13494873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41864013671875 × 213)
    floor (0.41864013671875 × 8192)
    floor (3429.5)     		tx = 3429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13494873046875 × 213)
    floor (0.13494873046875 × 8192)
    floor (1105.5)     		ty = 1105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3429 / 1105 ti = "13/3429/1105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3429/1105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3429 ÷ 213
    3429 ÷ 8192     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1105 ÷ 213
    1105 ÷ 8192     		y = 0.1348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1348876953125 × 2 - 1) × π
    0.730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29406826821741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29406826821741))-π/2
    2×atan(9.91519340631191)-π/2
    2×1.47028089511558-π/2
    2.94056179023115-1.57079632675     		φ = 1.36976546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36976546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.481780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3429 KachelY 1105 -0.51158259 1.36976546 -29.311523 78.481780
    Oben rechts KachelX + 1 3430 KachelY 1105 -0.51081560 1.36976546 -29.267578 78.481780
    Unten links KachelX 3429 KachelY + 1 1106 -0.51158259 1.36961225 -29.311523 78.473001
    Unten rechts KachelX + 1 3430 KachelY + 1 1106 -0.51081560 1.36961225 -29.267578 78.473001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36976546-1.36961225) × R
    0.000153209999999904 × 6371000     		dl = 976.100909999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36976546-1.36961225) × R
    0.000153209999999904 × 6371000     		dr = 976.100909999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.36976546) × R
    0.000766989999999912 × 0.19967954314642 × 6371000     		do = 975.732747735136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.36961225) × R
    0.000766989999999912 × 0.19982966534522 × 6371000     		du = 976.466318852252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36976546)-sin(1.36961225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19967954314642-0.19982966534522)×R²
    abs(-0.51081560--0.51158259)×0.000150122198799896×R²
    0.000766989999999912×0.000150122198799896×6371000²
    0.000766989999999912×0.000150122198799896×40589641000000     		ar = 952771.644560437m²