Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3429 / 1104
↖ ↑ ↗
← N 78.490552°
W 29.311523°		 ← 975 m → N 78.490552°
W 29.267578°		 →
↑
975.40 m
↓
↑
975.40 m
↓
N 78.481780°
W 29.311523°		 ← 975.73 m →
951 372 m²		 N 78.481780°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41864013671875 y=0.13482666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41864013671875 × 213)
    floor (0.41864013671875 × 8192)
    floor (3429.5)     		tx = 3429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13482666015625 × 213)
    floor (0.13482666015625 × 8192)
    floor (1104.5)     		ty = 1104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3429 / 1104 ti = "13/3429/1104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3429/1104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3429 ÷ 213
    3429 ÷ 8192     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1104 ÷ 213
    1104 ÷ 8192     		y = 0.134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134765625 × 2 - 1) × π
    0.73046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29483525861133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29483525861133))-π/2
    2×atan(9.92280118158074)-π/2
    2×1.47035744249174-π/2
    2.94071488498349-1.57079632675     		φ = 1.36991856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36991856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.490552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3429 KachelY 1104 -0.51158259 1.36991856 -29.311523 78.490552
    Oben rechts KachelX + 1 3430 KachelY 1104 -0.51081560 1.36991856 -29.267578 78.490552
    Unten links KachelX 3429 KachelY + 1 1105 -0.51158259 1.36976546 -29.311523 78.481780
    Unten rechts KachelX + 1 3430 KachelY + 1 1105 -0.51081560 1.36976546 -29.267578 78.481780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36991856-1.36976546) × R
    0.000153099999999906 × 6371000     		dl = 975.400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36991856-1.36976546) × R
    0.000153099999999906 × 6371000     		dr = 975.400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.36991856) × R
    0.000766989999999912 × 0.199529524048583 × 6371000     		do = 974.999680420181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51081560) × cos(1.36976546) × R
    0.000766989999999912 × 0.19967954314642 × 6371000     		du = 975.732747735136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36991856)-sin(1.36976546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199529524048583-0.19967954314642)×R²
    abs(-0.51081560--0.51158259)×0.000150019097837684×R²
    0.000766989999999912×0.000150019097837684×6371000²
    0.000766989999999912×0.000150019097837684×40589641000000     		ar = 951372.30460829m²