Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34289 / 36305
↖ ↑ ↗
← S 19.067309°
E  8.355103°		 ← 577.28 m → S 19.067309°
E  8.360596°		 →
↑
577.34 m
↓
↑
577.34 m
↓
S 19.072502°
E  8.355103°		 ← 577.26 m →
333 280 m²		 S 19.072502°
E  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523216247558594 y=0.553977966308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523216247558594 × 216)
    floor (0.523216247558594 × 65536)
    floor (34289.5)     		tx = 34289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553977966308594 × 216)
    floor (0.553977966308594 × 65536)
    floor (36305.5)     		ty = 36305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34289 / 36305 ti = "16/34289/36305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34289/36305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34289 ÷ 216
    34289 ÷ 65536     		x = 0.523208618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36305 ÷ 216
    36305 ÷ 65536     		y = 0.553970336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523208618164062 × 2 - 1) × π
    0.046417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14582405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553970336914062 × 2 - 1) × π
    -0.107940673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.339105627912277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14582405} λ = 0.14582405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339105627912277))-π/2
    2×atan(0.712407195030095)-π/2
    2×0.619004496093912-π/2
    1.23800899218782-1.57079632675     		φ = -0.33278733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14582405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.355103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33278733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.067309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34289 KachelY 36305 0.14582405 -0.33278733 8.355103 -19.067309
    Oben rechts KachelX + 1 34290 KachelY 36305 0.14591992 -0.33278733 8.360596 -19.067309
    Unten links KachelX 34289 KachelY + 1 36306 0.14582405 -0.33287795 8.355103 -19.072502
    Unten rechts KachelX + 1 34290 KachelY + 1 36306 0.14591992 -0.33287795 8.360596 -19.072502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33278733--0.33287795) × R
    9.06199999999857e-05 × 6371000     		dl = 577.340019999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33278733--0.33287795) × R
    9.06199999999857e-05 × 6371000     		dr = 577.340019999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14582405-0.14591992) × cos(-0.33278733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945135454845852 × 6371000     		do = 577.277176813221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14582405-0.14591992) × cos(-0.33287795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945105847341524 × 6371000     		du = 577.259092911677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33278733)-sin(-0.33287795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945135454845852-0.945105847341524)×R²
    abs(0.14591992-0.14582405)×2.96075043280108e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.96075043280108e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.96075043280108e-05×40589641000000     		ar = 333279.996754996m²