Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34285 / 21771
↖ ↑ ↗
← N 51.580483°
E  8.333130°		 ← 379.59 m → N 51.580483°
E  8.338623°		 →
↑
379.58 m
↓
↑
379.58 m
↓
N 51.577069°
E  8.333130°		 ← 379.62 m →
144 093 m²		 N 51.577069°
E  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523155212402344 y=0.332206726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523155212402344 × 216)
    floor (0.523155212402344 × 65536)
    floor (34285.5)     		tx = 34285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332206726074219 × 216)
    floor (0.332206726074219 × 65536)
    floor (21771.5)     		ty = 21771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34285 / 21771 ti = "16/34285/21771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34285/21771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34285 ÷ 216
    34285 ÷ 65536     		x = 0.523147583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21771 ÷ 216
    21771 ÷ 65536     		y = 0.332199096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523147583007812 × 2 - 1) × π
    0.046295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14544055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332199096679688 × 2 - 1) × π
    0.335601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05432417024352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14544055} λ = 0.14544055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05432417024352))-π/2
    2×atan(2.8700348433661)-π/2
    2×1.23552279417811-π/2
    2.47104558835621-1.57079632675     		φ = 0.90024926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14544055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.333130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90024926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.580483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34285 KachelY 21771 0.14544055 0.90024926 8.333130 51.580483
    Oben rechts KachelX + 1 34286 KachelY 21771 0.14553643 0.90024926 8.338623 51.580483
    Unten links KachelX 34285 KachelY + 1 21772 0.14544055 0.90018968 8.333130 51.577069
    Unten rechts KachelX + 1 34286 KachelY + 1 21772 0.14553643 0.90018968 8.338623 51.577069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90024926-0.90018968) × R
    5.9580000000059e-05 × 6371000     		dl = 379.584180000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90024926-0.90018968) × R
    5.9580000000059e-05 × 6371000     		dr = 379.584180000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14544055-0.14553643) × cos(0.90024926) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621414696896709 × 6371000     		do = 379.592087293077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14544055-0.14553643) × cos(0.90018968) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621461375641039 × 6371000     		du = 379.620601073136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90024926)-sin(0.90018968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621414696896709-0.621461375641039)×R²
    abs(0.14553643-0.14544055)×4.66787443306194e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66787443306194e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66787443306194e-05×40589641000000     		ar = 144092.562922438m²