Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34285 / 21649
↖ ↑ ↗
← N 51.995028°
E  8.333130°		 ← 376.12 m → N 51.995028°
E  8.338623°		 →
↑
376.14 m
↓
↑
376.14 m
↓
N 51.991646°
E  8.333130°		 ← 376.15 m →
141 480 m²		 N 51.991646°
E  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523155212402344 y=0.330345153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523155212402344 × 216)
    floor (0.523155212402344 × 65536)
    floor (34285.5)     		tx = 34285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330345153808594 × 216)
    floor (0.330345153808594 × 65536)
    floor (21649.5)     		ty = 21649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34285 / 21649 ti = "16/34285/21649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34285/21649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34285 ÷ 216
    34285 ÷ 65536     		x = 0.523147583007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21649 ÷ 216
    21649 ÷ 65536     		y = 0.330337524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523147583007812 × 2 - 1) × π
    0.046295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14544055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330337524414062 × 2 - 1) × π
    0.339324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06602077375081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14544055} λ = 0.14544055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06602077375081))-π/2
    2×atan(2.90380159617097)-π/2
    2×1.2391403818108-π/2
    2.47828076362159-1.57079632675     		φ = 0.90748444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14544055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.333130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90748444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.995028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34285 KachelY 21649 0.14544055 0.90748444 8.333130 51.995028
    Oben rechts KachelX + 1 34286 KachelY 21649 0.14553643 0.90748444 8.338623 51.995028
    Unten links KachelX 34285 KachelY + 1 21650 0.14544055 0.90742540 8.333130 51.991646
    Unten rechts KachelX + 1 34286 KachelY + 1 21650 0.14553643 0.90742540 8.338623 51.991646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90748444-0.90742540) × R
    5.90399999998992e-05 × 6371000     		dl = 376.143839999358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90748444-0.90742540) × R
    5.90399999998992e-05 × 6371000     		dr = 376.143839999358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14544055-0.14553643) × cos(0.90748444) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615729849518147 × 6371000     		do = 376.119489858309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14544055-0.14553643) × cos(0.90742540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615776369445696 × 6371000     		du = 376.147906624902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90748444)-sin(0.90742540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615729849518147-0.615776369445696)×R²
    abs(0.14553643-0.14544055)×4.65199275488937e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.65199275488937e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.65199275488937e-05×40589641000000     		ar = 141480.373651078m²