Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34284 / 36156
↖ ↑ ↗
← S 18.291950°
E  8.327637°		 ← 579.92 m → S 18.291950°
E  8.333130°		 →
↑
579.95 m
↓
↑
579.95 m
↓
S 18.297165°
E  8.327637°		 ← 579.91 m →
336 323 m²		 S 18.297165°
E  8.333130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523139953613281 y=0.551704406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523139953613281 × 216)
    floor (0.523139953613281 × 65536)
    floor (34284.5)     		tx = 34284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551704406738281 × 216)
    floor (0.551704406738281 × 65536)
    floor (36156.5)     		ty = 36156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34284 / 36156 ti = "16/34284/36156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34284/36156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34284 ÷ 216
    34284 ÷ 65536     		x = 0.52313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36156 ÷ 216
    36156 ÷ 65536     		y = 0.55169677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52313232421875 × 2 - 1) × π
    0.0462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14534468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55169677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.3248204318255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14534468} λ = 0.14534468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3248204318255))-π/2
    2×atan(0.722657108209538)-π/2
    2×0.625770788671979-π/2
    1.25154157734396-1.57079632675     		φ = -0.31925475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14534468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.327637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31925475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.291950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34284 KachelY 36156 0.14534468 -0.31925475 8.327637 -18.291950
    Oben rechts KachelX + 1 34285 KachelY 36156 0.14544055 -0.31925475 8.333130 -18.291950
    Unten links KachelX 34284 KachelY + 1 36157 0.14534468 -0.31934578 8.327637 -18.297165
    Unten rechts KachelX + 1 34285 KachelY + 1 36157 0.14544055 -0.31934578 8.333130 -18.297165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31925475--0.31934578) × R
    9.10300000000475e-05 × 6371000     		dl = 579.952130000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31925475--0.31934578) × R
    9.10300000000475e-05 × 6371000     		dr = 579.952130000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14534468-0.14544055) × cos(-0.31925475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949469585188533 × 6371000     		do = 579.924410620117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14534468-0.14544055) × cos(-0.31934578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949441010664867 × 6371000     		du = 579.906957650528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31925475)-sin(-0.31934578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949469585188533-0.949441010664867)×R²
    abs(0.14544055-0.14534468)×2.85745236660029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85745236660029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85745236660029e-05×40589641000000     		ar = 336323.336467105m²