Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34283 / 36429
↖ ↑ ↗
← S 19.709829°
E  8.322144°		 ← 575 m → S 19.709829°
E  8.327637°		 →
↑
575.05 m
↓
↑
575.05 m
↓
S 19.715000°
E  8.322144°		 ← 574.98 m →
330 648 m²		 S 19.715000°
E  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523124694824219 y=0.555870056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523124694824219 × 216)
    floor (0.523124694824219 × 65536)
    floor (34283.5)     		tx = 34283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555870056152344 × 216)
    floor (0.555870056152344 × 65536)
    floor (36429.5)     		ty = 36429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34283 / 36429 ti = "16/34283/36429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34283/36429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34283 ÷ 216
    34283 ÷ 65536     		x = 0.523117065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36429 ÷ 216
    36429 ÷ 65536     		y = 0.555862426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523117065429688 × 2 - 1) × π
    0.046234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14524881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555862426757812 × 2 - 1) × π
    -0.111724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.350993979018051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14524881} λ = 0.14524881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.350993979018051))-π/2
    2×atan(0.703987992541856)-π/2
    2×0.61339745789743-π/2
    1.22679491579486-1.57079632675     		φ = -0.34400141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14524881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.322144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34400141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.709829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34283 KachelY 36429 0.14524881 -0.34400141 8.322144 -19.709829
    Oben rechts KachelX + 1 34284 KachelY 36429 0.14534468 -0.34400141 8.327637 -19.709829
    Unten links KachelX 34283 KachelY + 1 36430 0.14524881 -0.34409167 8.322144 -19.715000
    Unten rechts KachelX + 1 34284 KachelY + 1 36430 0.14534468 -0.34409167 8.327637 -19.715000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34400141--0.34409167) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dl = 575.046460000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34400141--0.34409167) × R
    9.02600000000087e-05 × 6371000     		dr = 575.046460000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14524881-0.14534468) × cos(-0.34400141) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941412703158611 × 6371000     		do = 575.003365611908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14524881-0.14534468) × cos(-0.34409167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941382258528691 × 6371000     		du = 574.98477040429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34400141)-sin(-0.34409167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941412703158611-0.941382258528691)×R²
    abs(0.14534468-0.14524881)×3.04446299208561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04446299208561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04446299208561e-05×40589641000000     		ar = 330648.303553431m²