Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34282 / 36425
↖ ↑ ↗
← S 19.689142°
E  8.316650°		 ← 575.14 m → S 19.689142°
E  8.322144°		 →
↑
575.11 m
↓
↑
575.11 m
↓
S 19.694314°
E  8.316650°		 ← 575.12 m →
330 762 m²		 S 19.694314°
E  8.322144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523109436035156 y=0.555809020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523109436035156 × 216)
    floor (0.523109436035156 × 65536)
    floor (34282.5)     		tx = 34282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555809020996094 × 216)
    floor (0.555809020996094 × 65536)
    floor (36425.5)     		ty = 36425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34282 / 36425 ti = "16/34282/36425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34282/36425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34282 ÷ 216
    34282 ÷ 65536     		x = 0.523101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36425 ÷ 216
    36425 ÷ 65536     		y = 0.555801391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523101806640625 × 2 - 1) × π
    0.04620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14515293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555801391601562 × 2 - 1) × π
    -0.111602783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.350610483821091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14515293} λ = 0.14515293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.350610483821091))-π/2
    2×atan(0.704258020329584)-π/2
    2×0.613577983192442-π/2
    1.22715596638488-1.57079632675     		φ = -0.34364036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14515293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34364036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.689142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34282 KachelY 36425 0.14515293 -0.34364036 8.316650 -19.689142
    Oben rechts KachelX + 1 34283 KachelY 36425 0.14524881 -0.34364036 8.322144 -19.689142
    Unten links KachelX 34282 KachelY + 1 36426 0.14515293 -0.34373063 8.316650 -19.694314
    Unten rechts KachelX + 1 34283 KachelY + 1 36426 0.14524881 -0.34373063 8.322144 -19.694314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34364036--0.34373063) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dl = 575.110170000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34364036--0.34373063) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dr = 575.110170000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14515293-0.14524881) × cos(-0.34364036) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941534408349337 × 6371000     		do = 575.137686811073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14515293-0.14524881) × cos(-0.34373063) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941503991029994 × 6371000     		du = 575.119106346535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34364036)-sin(-0.34373063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941534408349337-0.941503991029994)×R²
    abs(0.14524881-0.14515293)×3.04173193431678e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.04173193431678e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.04173193431678e-05×40589641000000     		ar = 330762.19015301m²