Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34282 / 34233
↖ ↑ ↗
← S  8.021155°
E  8.316650°		 ← 604.88 m → S  8.021155°
E  8.322144°		 →
↑
604.86 m
↓
↑
604.86 m
↓
S  8.026595°
E  8.316650°		 ← 604.87 m →
365 864 m²		 S  8.026595°
E  8.322144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523109436035156 y=0.522361755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523109436035156 × 216)
    floor (0.523109436035156 × 65536)
    floor (34282.5)     		tx = 34282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.522361755371094 × 216)
    floor (0.522361755371094 × 65536)
    floor (34233.5)     		ty = 34233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34282 / 34233 ti = "16/34282/34233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34282/34233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34282 ÷ 216
    34282 ÷ 65536     		x = 0.523101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34233 ÷ 216
    34233 ÷ 65536     		y = 0.522354125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523101806640625 × 2 - 1) × π
    0.04620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14515293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.522354125976562 × 2 - 1) × π
    -0.044708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.140455115886765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14515293} λ = 0.14515293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.140455115886765))-π/2
    2×atan(0.868962666676219)-π/2
    2×0.715400377133761-π/2
    1.43080075426752-1.57079632675     		φ = -0.13999557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14515293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.13999557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.021155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34282 KachelY 34233 0.14515293 -0.13999557 8.316650 -8.021155
    Oben rechts KachelX + 1 34283 KachelY 34233 0.14524881 -0.13999557 8.322144 -8.021155
    Unten links KachelX 34282 KachelY + 1 34234 0.14515293 -0.14009051 8.316650 -8.026595
    Unten rechts KachelX + 1 34283 KachelY + 1 34234 0.14524881 -0.14009051 8.322144 -8.026595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.13999557--0.14009051) × R
    9.49399999999878e-05 × 6371000     		dl = 604.862739999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.13999557--0.14009051) × R
    9.49399999999878e-05 × 6371000     		dr = 604.862739999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14515293-0.14524881) × cos(-0.13999557) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990216614378919 × 6371000     		do = 604.875284413905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14515293-0.14524881) × cos(-0.14009051) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.990203362109394 × 6371000     		du = 604.867189245453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.13999557)-sin(-0.14009051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.990216614378919-0.990203362109394)×R²
    abs(0.14524881-0.14515293)×1.32522695250881e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.32522695250881e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.32522695250881e-05×40589641000000     		ar = 365864.073930721m²