Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34282 / 21782
↖ ↑ ↗
← N 51.542919°
E  8.316650°		 ← 379.91 m → N 51.542919°
E  8.322144°		 →
↑
379.90 m
↓
↑
379.90 m
↓
N 51.539502°
E  8.316650°		 ← 379.93 m →
144 333 m²		 N 51.539502°
E  8.322144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523109436035156 y=0.332374572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523109436035156 × 216)
    floor (0.523109436035156 × 65536)
    floor (34282.5)     		tx = 34282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332374572753906 × 216)
    floor (0.332374572753906 × 65536)
    floor (21782.5)     		ty = 21782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34282 / 21782 ti = "16/34282/21782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34282/21782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34282 ÷ 216
    34282 ÷ 65536     		x = 0.523101806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21782 ÷ 216
    21782 ÷ 65536     		y = 0.332366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.523101806640625 × 2 - 1) × π
    0.04620361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14515293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332366943359375 × 2 - 1) × π
    0.33526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05326955845187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14515293} λ = 0.14515293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05326955845187))-π/2
    2×atan(2.86700966625198)-π/2
    2×1.23519498315738-π/2
    2.47038996631476-1.57079632675     		φ = 0.89959364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14515293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89959364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.542919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34282 KachelY 21782 0.14515293 0.89959364 8.316650 51.542919
    Oben rechts KachelX + 1 34283 KachelY 21782 0.14524881 0.89959364 8.322144 51.542919
    Unten links KachelX 34282 KachelY + 1 21783 0.14515293 0.89953401 8.316650 51.539502
    Unten rechts KachelX + 1 34283 KachelY + 1 21783 0.14524881 0.89953401 8.322144 51.539502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89959364-0.89953401) × R
    5.96299999999772e-05 × 6371000     		dl = 379.902729999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89959364-0.89953401) × R
    5.96299999999772e-05 × 6371000     		dr = 379.902729999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14515293-0.14524881) × cos(0.89959364) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621928229662156 × 6371000     		do = 379.905779542879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14515293-0.14524881) × cos(0.89953401) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.621974923273802 × 6371000     		du = 379.934302404659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89959364)-sin(0.89953401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621928229662156-0.621974923273802)×R²
    abs(0.14524881-0.14515293)×4.66936116461092e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66936116461092e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66936116461092e-05×40589641000000     		ar = 144332.660790117m²