Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34280 / 36424
↖ ↑ ↗
← S 19.683970°
E  8.305664°		 ← 575.16 m → S 19.683970°
E  8.311157°		 →
↑
575.11 m
↓
↑
575.11 m
↓
S 19.689142°
E  8.305664°		 ← 575.14 m →
330 773 m²		 S 19.689142°
E  8.311157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523078918457031 y=0.555793762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523078918457031 × 216)
    floor (0.523078918457031 × 65536)
    floor (34280.5)     		tx = 34280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555793762207031 × 216)
    floor (0.555793762207031 × 65536)
    floor (36424.5)     		ty = 36424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34280 / 36424 ti = "16/34280/36424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34280/36424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34280 ÷ 216
    34280 ÷ 65536     		x = 0.5230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36424 ÷ 216
    36424 ÷ 65536     		y = 0.5557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5230712890625 × 2 - 1) × π
    0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.350514610021851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14496118} λ = 0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.350514610021851))-π/2
    2×atan(0.704325543458436)-π/2
    2×0.613623118161756-π/2
    1.22724623632351-1.57079632675     		φ = -0.34355009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34355009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.683970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34280 KachelY 36424 0.14496118 -0.34355009 8.305664 -19.683970
    Oben rechts KachelX + 1 34281 KachelY 36424 0.14505706 -0.34355009 8.311157 -19.683970
    Unten links KachelX 34280 KachelY + 1 36425 0.14496118 -0.34364036 8.305664 -19.689142
    Unten rechts KachelX + 1 34281 KachelY + 1 36425 0.14505706 -0.34364036 8.311157 -19.689142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34355009--0.34364036) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dl = 575.110170000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34355009--0.34364036) × R
    9.02700000000034e-05 × 6371000     		dr = 575.110170000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14496118-0.14505706) × cos(-0.34355009) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941564817996425 × 6371000     		do = 575.156262589002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14496118-0.14505706) × cos(-0.34364036) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941534408349337 × 6371000     		du = 575.137686811073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34355009)-sin(-0.34364036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941564817996425-0.941534408349337)×R²
    abs(0.14505706-0.14496118)×3.04096470872262e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.04096470872262e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.04096470872262e-05×40589641000000     		ar = 330772.874619176m²